Definizione di $mathbb(K)$-algebra

[menale1]

Cari ragazzi,
sto conducendo uno studio sui germi di funzioni e necessiterei di una definizione (abbastanza operativa) di $ mathbb(K) $-Algebra, quando $mathbb(K)$ è un campo. Ne ho trovate su alcuni testi in termini di omomorfismo di anelli, ma sarebbe gradito un vostro suggerimento.

Attendo Vostre.

[vict85]

Una \(\displaystyle \mathbf{K} \)-algebra è qualcosa di piuttosto banale. Di fatto è un \(\displaystyle \mathbf{K} \)-spazio vettoriale su cui è definito un prodotto bilineare. Immagino che tu faccia riferimento a \(\displaystyle \mathbf{K} \)-algebre associative, nel qual caso l'algebra diventa anche un anello rispetto a questo prodotto (nelle definizioni più generali l'anello può non essere unitario).

[menale1]

Si faccio riferimento a quelle associative.
Perdona la pignoleria, potresti definirlo esplicitamente il prodotto bilineare (funzione bilineare) associato?

[Studente Anonimo]

La definizione più operativa che conosco è questa: se [tex]A[/tex] è un anello commutativo, una [tex]A[/tex]-algebra (commutativa) è un anello commutativo [tex]B[/tex] dotato di un omomorfismo di anelli [tex]f:A \to B[/tex].
In questo modo tramite la funzione [tex]f[/tex] è definita su [tex]B[/tex] una "buona" moltiplicazione per scalare data, per [tex]a \in A, b \in B[/tex] da [tex]a \ast b := f(a)b[/tex]. Se [tex]A[/tex] è un campo questo prodotto per scalare rende [tex]B[/tex] un [tex]A[/tex]-spazio vettoriale.
Inoltre per costruzione la moltiplicazione per scalare è compatibile con il prodotto in [tex]B[/tex] (in altre parole hai la bilinearità).

Una definizione più generale (non commutativa) è questa: se [tex]A[/tex] è un anello, una [tex]A[/tex]-algebra è un anello [tex]B[/tex] dotato di un omomorfismo [tex]f:A \to B[/tex] la cui immagine è contenuta in [tex]Z(B)=\{b \in B\ :\ xb=bx\ \forall x \in B\}[/tex], il "centro" di [tex]B[/tex] (questa ulteriore condizione serve a rendere il prodotto in [tex]B[/tex] bilineare).

[vict85]

Io con prodotto bilineare mi riferisco a qualcosa di molto semplice ovvero una funzione \(\diamond\colon A\times A\to A\) tale che \(\displaystyle (\lambda a + \eta b)\diamond(\nu c + \omega d) = \lambda\nu (a\diamond c) + \lambda\omega (a\diamond d) + \eta\nu (a\diamond c) + \eta\omega (a\diamond d) \), per ogni \(\lambda,\eta,\nu,\omega\in\mathbf{K}\) e \(a,b,c,d\in A\) . Insomma solita definizione di funzione bilineare.

Nota che io in generale non suppongo \(\displaystyle A \) come anello unitario. Ci sono casi in cui è utile utilizzare oggetti più generici e altri in cui non vale la pena complicarsi la vita. Il modo più semplice per vedere la cosa è un anello che è anche spazio vettoriale (e le due strutture si comportano bene tra di loro). Insomma esempi classici sono i polinomi e le matrici.

[menale1]

"vict85": Il modo più semplice per vedere la cosa è un anello che è anche spazio vettoriale (e le due strutture si comportano bene tra di loro).

Calando il tutto nel caso dei germi di funzioni $C^{oo } $ in $ 0 \in mathbb(R)^n $ ed indicando con $A$ il quoziente che permette di definire l'anello stesso dei germi di funzioni, avrei che $(A,+,*)$, ovvero $A$ con somma tra germi e prodotto con scalari del campo, definisce un anello commutativo ed unitario, in realtà un vero e proprio $\mathbb(R)$-spazio vettoriale, inoltre con l'aggiunta dell'operazione di prodotto tra germi $ @ $ si ottiene la struttura di $\mathbb(R)$-algebra commutativa unitaria; è giusto il procedere?

[j18eos]

Sì, corretto!

[menale1]

"j18eos":Sì, corretto!

Quindi continuano a funzionare, come per anelli (e campi), i teoremi di omomorfismo?
Difatti in tal modo potrei mostrare, con pieno rigore, che unico è l'ideale massimale, ovvero l'anello è locale. Difatti sarebbe sufficiente associare ad ogni germe il valore del rappresentante in $0$, mediante una $ varphi : Ararr mathbb(R) $ . Il $Ker(varphi)$ di siffatta applicazione sarebbe costituito dai germi che si annullano in zero e dunque se valesse il teorema di omomorfismo avrei:
$ A\\ Ker(varphi) ~= mathbb(R) $;
essendo $mathbb(R)$ un campo, allora $Ker(varphi)$ è massimale.
A tal punto, basta osservare che in ogni altro ideale vi sono invertibili di $A$ e quindi non possono esserci altri massimali.
Sembra procede il ragionamento (confermate?) ammesso che continuino a valere i teoremi di omomorfismo per le $mathbb(R)$-algebre cosa che reputo abbastanza ragionevole.

[vict85]

"menale":[quote="vict85"] Il modo più semplice per vedere la cosa è un anello che è anche spazio vettoriale (e le due strutture si comportano bene tra di loro).

Calando il tutto nel caso dei germi di funzioni $C^{oo } $ in $ 0 \in mathbb(R)^n $ ed indicando con $A$ il quoziente che permette di definire l'anello stesso dei germi di funzioni, avrei che $(A,+,*)$, ovvero $A$ con somma tra germi e prodotto con scalari del campo, definisce un anello commutativo ed unitario, in realtà un vero e proprio $\mathbb(R)$-spazio vettoriale, inoltre con l'aggiunta dell'operazione di prodotto tra germi $ @ $ si ottiene la struttura di $\mathbb(R)$-algebra commutativa unitaria; è giusto il procedere?[/quote]

Mi confondi. Insomma se dici che definisce un anello commutativo ed unitario e finisci la frase con in realtà un vero e proprio $\mathbb(R)$-spazio vettoriale mi viene da pensare che tu non sappia cosa sia un anello commutativo ed unitario .

Lo spazio vettoriale è fatto da somma tra funzioni e prodotto per uno scalare, l'anello è fatto da somma tra funzioni e prodotto tra funzioni. Dove ovviamente prodotti e somme sono fatti nell'intersezione dei domini delle due funzioni.

Comunque penso che sia più facile capire cosa sia un anello, rispetto a tutta la teoria dei germi.

[vict85]

Per dimostrare che l'ideale è massimale basta usare il teorema della permanenza del segno delle funzioni continue

[menale1]

"vict85":Mi confondi. Insomma se dici che definisce un anello commutativo ed unitario e finisci la frase con in realtà un vero e proprio R-spazio vettoriale mi viene da pensare che tu non sappia cosa sia un anello commutativo ed unitario .

Chiedo venia ma nel fluire di definizioni ed idee dimostrative ho miscelato cose diverse nei momenti sbagliati.

"vict85":Lo spazio vettoriale è fatto da somma tra funzioni e prodotto per uno scalare, l'anello è fatto da somma tra funzioni e prodotto tra funzioni. Dove ovviamente prodotti e somme sono fatti nell'intersezione dei domini delle due funzioni.

A tal punto facendo un "Errata Corrige" riformulo il precedente periodo. $(A,+,*)$, con $A$ quoziente che definisce i germi somma e prodotto tra germi, definisce un anello commutativo ed unitario, mentre l'operazione di prodotto tra germi e scalari esterni del campo permette di definire la struttura di $\mathbb(R)$-spazio vettoriale, ed ecco servita la $\mathbb(R)$-algebra ricercata.

"vict85":Comunque penso che sia più facile capire cosa sia un anello, rispetto a tutta la teoria dei germi.

MIi auguro di aver superato lo step.

"vict85":Per dimostrare che l'ideale è massimale basta usare il teorema della permanenza del segno delle funzioni continue

Questo lo utilizzerei quando provo che ho un unico ideale massimale, dacché se $ [(f,U)] in A $ non in $Ker(\varphi)$, allora $ f(0)!= 0 $ e quindi ho tutto un intorno per la permanenza del segno data la continuità della $f$ in cui essa è non nulla e così proseguendo come detto in precedenza.