Definizione di funzione
Sto leggendo da più fonti la definizione di funzione ma continuo a trovare notizie discordanti che non riescono a convincervi... mi spiego meglio: la definizione "migliore" che ho trovato è "Si definisce funzione da $X$ a $Y$ una relazione che ad ogni $x in X$ associa una e una sola $y in Y$ . L'insieme $X$ è detto domino, l'insieme $Y$ è detto codominio e $ xRyhArr y=f(x) $ dove $f(x)$ è detta legge della funzione"...
Ora leggendo l'unica definizione di relazione che ho trovato, questa è presentata come sottoinsieme del prodotto cartesiano $XxY$ ma, traducendolo in termini di funzione questo "oggetto" è il GRAFICO, non la funzione!!!
Non ho trovato altre definizioni di relazione ma in alcuni testi è riportato che la relazione SI DESCRIVE A PARTIRE DA un sottoinsieme di $XxY$ ... (e su questo sono d'accordo)
Alla fine però ancora non sono riuscito a DEFINIRE una relazione e quindi una funzione...
Qualcuno può aiutarmi?
Ora leggendo l'unica definizione di relazione che ho trovato, questa è presentata come sottoinsieme del prodotto cartesiano $XxY$ ma, traducendolo in termini di funzione questo "oggetto" è il GRAFICO, non la funzione!!!
Non ho trovato altre definizioni di relazione ma in alcuni testi è riportato che la relazione SI DESCRIVE A PARTIRE DA un sottoinsieme di $XxY$ ... (e su questo sono d'accordo)
Alla fine però ancora non sono riuscito a DEFINIRE una relazione e quindi una funzione...
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Devi assumere come concetto primitivo una corrispondenza (o relazione, a seconda dei testi) di un insieme $A$ in un insieme $B$, cioè un procedimento che associ a un elemento di $A$ un sottoinsieme di $B$.
In simboli, $R:x \in A to R(x) \subseteq B$. Con la notazione $xRy$ si intende che $y \in R(x)$.
Nel caso in cui per ogni $x \in A$ l'insieme $R(x)$ consti di un solo elemento, si parla di funzione.
Questo è un modo di procedere. Si può anche assumere la funzione come concetto primitivo e definire le relazioni a partire da essa.
In simboli, $R:x \in A to R(x) \subseteq B$. Con la notazione $xRy$ si intende che $y \in R(x)$.
Nel caso in cui per ogni $x \in A$ l'insieme $R(x)$ consti di un solo elemento, si parla di funzione.
Questo è un modo di procedere. Si può anche assumere la funzione come concetto primitivo e definire le relazioni a partire da essa.
"Pierlu11":Una relazione è uguale a quello che chiami il suo "grafico": per sapere se due elementi x e y sono in relazione basta che vai a vedere se (x,y) sta nel "grafico". Si è parlato molto qui di definizione di funzione.
Ora leggendo l'unica definizione di relazione che ho trovato, questa è presentata come sottoinsieme del prodotto cartesiano $XxY$ ma, traducendolo in termini di funzione questo "oggetto" è il GRAFICO, non la funzione!!!
Non ho trovato altre definizioni di relazione ma in alcuni testi è riportato che la relazione SI DESCRIVE A PARTIRE DA un sottoinsieme di $XxY$ ... (e su questo sono d'accordo)
Alla fine però ancora non sono riuscito a DEFINIRE una relazione e quindi una funzione...
Secondo il mio modestissimo punto di vista assumere il concetto di corrispondenza (o relazione) come un concetto primitivo non ne vale proprio la pena. L'unico concetto primitivo che val bene la pena di assumere è quello di insieme, a partire dal quale possiamo poi tirare fuori quello che ci serve.
Indi per cui, in tal caso:
1. si assume come concetto primitivo quello di insieme;
2. senza eccedere nell'assiomatizzazione degli insiemi, si perviene per ogni insieme \(S\) all'insieme \(\wp(S)\) definito come l'insieme dei sottoinsiemi di \(S\) e dati due insiemi \(S,T\) si perviene alla loro unione;
3. dati \(x,y\in S\) si pone per definizione \((x;y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\) dove \(\{\{x\},\{x,y\}\} \in \wp(\wp(S))\);
4. dati due insiemi \(S,T\) si definisce per essi il prodotto cartesiano \(S\times T\) come un sottoinsieme di \(\wp(\wp(S \cup T))\) e più precisamente come quel sottoinsieme di \(\wp(\wp(S \cup T))\) costituto dagli oggetti definiti in 3 con \(x \in S\) e \(y \in T\);
5. dati due insiemi \(S,T\) si definisce corrispondenza tra \(S\) e \(T\) ogni coppia ordinata del tipo \((S\times T;G)\) ove \(G\) è un sottoinsieme di \(S \times T\) e si chiama grafico della corrispondenza;
6. dati due insiemi \(S,T\) si definisce applicazione di \(S\) in \(T\) ogni corrispondenza tra \(S\) e \(T\) per la quale per ogni \(x \in S\) sia presente in \(G\) una ed una sola coppia ordinata di prima coordinata l'elemento \(x\) considerato.
Indi per cui, in tal caso:
1. si assume come concetto primitivo quello di insieme;
2. senza eccedere nell'assiomatizzazione degli insiemi, si perviene per ogni insieme \(S\) all'insieme \(\wp(S)\) definito come l'insieme dei sottoinsiemi di \(S\) e dati due insiemi \(S,T\) si perviene alla loro unione;
3. dati \(x,y\in S\) si pone per definizione \((x;y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\) dove \(\{\{x\},\{x,y\}\} \in \wp(\wp(S))\);
4. dati due insiemi \(S,T\) si definisce per essi il prodotto cartesiano \(S\times T\) come un sottoinsieme di \(\wp(\wp(S \cup T))\) e più precisamente come quel sottoinsieme di \(\wp(\wp(S \cup T))\) costituto dagli oggetti definiti in 3 con \(x \in S\) e \(y \in T\);
5. dati due insiemi \(S,T\) si definisce corrispondenza tra \(S\) e \(T\) ogni coppia ordinata del tipo \((S\times T;G)\) ove \(G\) è un sottoinsieme di \(S \times T\) e si chiama grafico della corrispondenza;
6. dati due insiemi \(S,T\) si definisce applicazione di \(S\) in \(T\) ogni corrispondenza tra \(S\) e \(T\) per la quale per ogni \(x \in S\) sia presente in \(G\) una ed una sola coppia ordinata di prima coordinata l'elemento \(x\) considerato.
"G.D.":
Secondo il mio modestissimo punto di vista assumere il concetto di corrispondenza (o relazione) come un concetto primitivo non ne vale proprio la pena. L'unico concetto primitivo che val bene la pena di assumere è quello di insieme, a partire dal quale possiamo poi tirare fuori quello che ci serve.
Indi per cui, in tal caso:
1. si assume come concetto primitivo quello di insieme;
2. senza eccedere nell'assiomatizzazione degli insiemi, si perviene per ogni insieme \(S\) all'insieme \(\wp(S)\) definito come l'insieme dei sottoinsiemi di \(S\) e dati due insiemi \(S,T\) si perviene alla loro unione;
3. dati \(x,y\in S\) si pone per definizione \((x;y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\) dove \(\{\{x\},\{x,y\}\} \in \wp(\wp(S))\);
4. dati due insiemi \(S,T\) si definisce per essi il prodotto cartesiano \(S\times T\) come un sottoinsieme di \(\wp(\wp(S \cup T))\) e più precisamente come quel sottoinsieme di \(\wp(\wp(S \cup T))\) costituto dagli oggetti definiti in 3 con \(x \in S\) e \(y \in T\);
5. dati due insiemi \(S,T\) si definisce corrispondenza tra \(S\) e \(T\) ogni coppia ordinata del tipo \((S\times T;G)\) ove \(G\) è un sottoinsieme di \(S \times T\) e si chiama grafico della corrispondenza;
6. dati due insiemi \(S,T\) si definisce applicazione di \(S\) in \(T\) ogni corrispondenza tra \(S\) e \(T\) per la quale per ogni \(x \in S\) sia presente in \(G\) una ed una sola coppia ordinata di prima coordinata l'elemento \(x\) considerato.
Questo che mi hai proposto è il ragionamento che abbiamo seguito nel corso di Algebra 1 è mi è tutto chiaro fino al momento in cui, in un certo senso, identifica la funzione con il suo grafico... ho sempre visto questi due concetti separatamente e, secondo me, mi sembra sensato che lo siano (anche per poi sottolineare la differenza tra l'interpretazione geometrica del grafico sul piano cartesiano e l'interpretazione analitica come andamento qualitativo di una funzione...).
Quando però dici che una relazione è una COPPIA ordinata (X x Y, sottoinsieme) viene naturale una distinzione tra grafico e funzione...
Visto che, a quanto pare, non c'è un processo preciso per definire questi concetti, posso pensarli anche nel seguente modo?
Definisco una relazione tra X e Y come un sottoinsieme del prodotto X x Y (naturalmente diversa a seconda degli insiemi X e Y) e una funzione tra X e Y come una legge (vedendola come concetto primitivo come aveva suggerito Antimius...) che definisce una relazione (cioè il suo grafico)...
E' sbagliato vedere la cosa in entrambi i modi pensando il primo come una costruzione formale e il secondo come una definizione più intuitiva?
Una corrispondenza (o un'applicazione) ed il relativo grafico sono due cose diverse seppur ovviamente collegate. E nonostante l'ovvio collegamento tra le due cose non sono mica tanto d'accordo nell'identificare la corrispondenza (o l'applicazione) con il relativo grafico.
Pensiamo un attimo a questo esempio: la funzione che manda \(x \in \mathbb{R}\) nella potenza \(a^{x}\) dove \(a \in \mathbb{R}^{+}\) è fissato. Se a questa funzione assegno per dominio e codominio \(\mathbb{R}\) o se le assegno come dominio \(\mathbb{R}\) e come codominio \(\mathbb{R}^{+}\), ottengo lo stesso grafico ma le due funzioni sono diverse. Quindi perché identificare una funzione con il suo grafico? Il grafico è uno dei tre elementi che definisce un'applicazione che consiste nel dato di un insieme \(S\) chiamato dominio, di un insieme \(T\) chiamato codominio e di una parte \(G\) del prodotto cartesiano \(S \times T\).
Perché poi dici che non esiste un processo preciso per definire questi concetti? Utilizzando l'opportuno fomalismo della logica è esattamente nel modo che ti ho esposto che si costruiscono le corrispondenze e le applicazioni nelle Teorie Assiomatiche, per esempio in ZF(C).
Che uno voglia poi pensare ad un'applicazione come ad una legge che crea una corrispondenza tra gli elementi di due insiemi va bene, ci sta, funziona, serve a rendere l'idea di quale sia il modo di comportarsi di un'applicazione all'atto pratico ma se vuoi una definizione di applicazione questo modo di intendere le cose non è una definizione.
Pensiamo un attimo a questo esempio: la funzione che manda \(x \in \mathbb{R}\) nella potenza \(a^{x}\) dove \(a \in \mathbb{R}^{+}\) è fissato. Se a questa funzione assegno per dominio e codominio \(\mathbb{R}\) o se le assegno come dominio \(\mathbb{R}\) e come codominio \(\mathbb{R}^{+}\), ottengo lo stesso grafico ma le due funzioni sono diverse. Quindi perché identificare una funzione con il suo grafico? Il grafico è uno dei tre elementi che definisce un'applicazione che consiste nel dato di un insieme \(S\) chiamato dominio, di un insieme \(T\) chiamato codominio e di una parte \(G\) del prodotto cartesiano \(S \times T\).
Perché poi dici che non esiste un processo preciso per definire questi concetti? Utilizzando l'opportuno fomalismo della logica è esattamente nel modo che ti ho esposto che si costruiscono le corrispondenze e le applicazioni nelle Teorie Assiomatiche, per esempio in ZF(C).
Che uno voglia poi pensare ad un'applicazione come ad una legge che crea una corrispondenza tra gli elementi di due insiemi va bene, ci sta, funziona, serve a rendere l'idea di quale sia il modo di comportarsi di un'applicazione all'atto pratico ma se vuoi una definizione di applicazione questo modo di intendere le cose non è una definizione.
@Pierlu11,
sul forum si è parlato molto di queste sottigliezze nelle definizioni di relazione e funzione (guarda il link postato da Martino)... io, studiando dal Pagani-Salsa, ho preferito, e non mi trovo male, la def. di relazione da un insieme \(A \) in un insieme \(B \) come un predicato binario \( P((x,y)) \) aperto in due variabiali dove \( x \) fa riferimento ad \(A \) e \(y \) fa riferimento a \( B \) e, soprattutto, \( \forall x \in A( \exists y \in B ( P((x,y)) ) \). In seguito definisci il grafico di \( P((x,y)) \) come l'insieme \(\{(x,y)|P((x,y))\}\); una funzione è una relazione che verifica oltre la condizione di univocità, ovvero \( \forall x \in A(\exists !y \in B(P((x,y)))) \). Ho letto anch'io tempo fa def. di relazione come un insieme \( R \subseteq A \times B \), e la funzione come un \( R \subseteq A \times B \) e \( \forall (a,b),(a,c) \in R \to (a,b)=(a,c) \) (o anche: \( \forall a \in A, b,c \in B ((a,b),(a,c) \in R \to (a,b)=(a,c) )\)), così facendo riconduci il concetto di relazione al concetto di insieme, stessa cosa vale anche per la funzione, ma cosa più interessante la funzione così definita lo è parzialmente in \(A \) e non totalmente.. si può inoltre fare vedere che \( \forall a \in A, b,c \in B ((a,b),(a,c) \in R \to (a,b)=(a,c) )\) è equivalente a \( \forall a \in A, \exists! c \in B ((a,c) \in R)) \) usando/preferendo insiemi..
Quindi come vedi vi sono molti modi di definire una relazione o funzione.. io preferisco quella classica nel vedere una relazione come un predicato alla maniera del pagani salsa, e non vorrei sbagliare (devo controllare) è un approccio che usa anche Terry Tao nel suo Analysis 1..!!
Spero ti sei chiarito le idee..
Saluti
P.S.=Se vuoi usare la def. che riconduce tutto al concetto di insieme allora fallo anche per le coppie ordinate (vederle cioè alla Kuratowski) tanto per essere coerenti nei fondamenti..
"Pierlu11":
Sto leggendo da più fonti la definizione di funzione ma continuo a trovare notizie discordanti che non riescono a convincervi... mi spiego meglio: la definizione "migliore" che ho trovato è "Si definisce funzione da $X$ a $Y$ una relazione che ad ogni $x in X$ associa una e una sola $y in Y$ . L'insieme $X$ è detto domino, l'insieme $Y$ è detto codominio e $ xRyhArr y=f(x) $ dove $f(x)$ è detta legge della funzione"...
Ora leggendo l'unica definizione di relazione che ho trovato, questa è presentata come sottoinsieme del prodotto cartesiano $XxY$ ma, traducendolo in termini di funzione questo "oggetto" è il GRAFICO, non la funzione!!!
Non ho trovato altre definizioni di relazione ma in alcuni testi è riportato che la relazione SI DESCRIVE A PARTIRE DA un sottoinsieme di $XxY$ ... (e su questo sono d'accordo)
Alla fine però ancora non sono riuscito a DEFINIRE una relazione e quindi una funzione...
Qualcuno può aiutarmi?
sul forum si è parlato molto di queste sottigliezze nelle definizioni di relazione e funzione (guarda il link postato da Martino)... io, studiando dal Pagani-Salsa, ho preferito, e non mi trovo male, la def. di relazione da un insieme \(A \) in un insieme \(B \) come un predicato binario \( P((x,y)) \) aperto in due variabiali dove \( x \) fa riferimento ad \(A \) e \(y \) fa riferimento a \( B \) e, soprattutto, \( \forall x \in A( \exists y \in B ( P((x,y)) ) \). In seguito definisci il grafico di \( P((x,y)) \) come l'insieme \(\{(x,y)|P((x,y))\}\); una funzione è una relazione che verifica oltre la condizione di univocità, ovvero \( \forall x \in A(\exists !y \in B(P((x,y)))) \). Ho letto anch'io tempo fa def. di relazione come un insieme \( R \subseteq A \times B \), e la funzione come un \( R \subseteq A \times B \) e \( \forall (a,b),(a,c) \in R \to (a,b)=(a,c) \) (o anche: \( \forall a \in A, b,c \in B ((a,b),(a,c) \in R \to (a,b)=(a,c) )\)), così facendo riconduci il concetto di relazione al concetto di insieme, stessa cosa vale anche per la funzione, ma cosa più interessante la funzione così definita lo è parzialmente in \(A \) e non totalmente.. si può inoltre fare vedere che \( \forall a \in A, b,c \in B ((a,b),(a,c) \in R \to (a,b)=(a,c) )\) è equivalente a \( \forall a \in A, \exists! c \in B ((a,c) \in R)) \) usando/preferendo insiemi..
Quindi come vedi vi sono molti modi di definire una relazione o funzione.. io preferisco quella classica nel vedere una relazione come un predicato alla maniera del pagani salsa, e non vorrei sbagliare (devo controllare) è un approccio che usa anche Terry Tao nel suo Analysis 1..!!
Spero ti sei chiarito le idee..
Saluti
P.S.=Se vuoi usare la def. che riconduce tutto al concetto di insieme allora fallo anche per le coppie ordinate (vederle cioè alla Kuratowski) tanto per essere coerenti nei fondamenti..
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