Definizione alternativa di gruppo
Definizione 1:
Si dice gruppo un insieme dotato di una operazione binaria che soddisfa le seguenti proprietà:
associativa) a(bc)=(ab)c
elemento neutro) esiste e tale che ae=ea=a per ogni a
elemento inverso) per ogni a esiste a' tale che aa'=a'a=e
Definizione 2:
Si dice gruppo un insieme dotato di una operazione binaria che soddisfa le seguenti proprietà:
associativa) a(bc)=(ab)c
identità sinistra) esiste e tale che ea=a per ogni a
inverso sinistro) per ogni a esiste a' tale che a'a=e
Le definizioni sono equivalenti:
che la definizione 1 implichi la 2 è semplice...basta notare che se esistono neutro e inverso bilateri esistono anche quelli sinistri.
come posso mostrare che la definizione 1 implica la definizione 2?
Si dice gruppo un insieme dotato di una operazione binaria che soddisfa le seguenti proprietà:
associativa) a(bc)=(ab)c
elemento neutro) esiste e tale che ae=ea=a per ogni a
elemento inverso) per ogni a esiste a' tale che aa'=a'a=e
Definizione 2:
Si dice gruppo un insieme dotato di una operazione binaria che soddisfa le seguenti proprietà:
associativa) a(bc)=(ab)c
identità sinistra) esiste e tale che ea=a per ogni a
inverso sinistro) per ogni a esiste a' tale che a'a=e
Le definizioni sono equivalenti:
che la definizione 1 implichi la 2 è semplice...basta notare che se esistono neutro e inverso bilateri esistono anche quelli sinistri.
come posso mostrare che la definizione 1 implica la definizione 2?
Risposte
dalla 2) sappiamo che $x^{-1}x=e$. Dalla 2) segue allora che $(e^{-1}x^{-1})(ex)=e$. Quindi
$(xe)^{-1}(ex)=e$. Segue $ex=xe$.
Credo che un procedimento analogo mostra che un inverso a sinistra è anche destro.
L'unica cosa da accertarsi è che la proprietà $e^{-1}x^{-1}=(xe)^{-1}$ si può dimostrare lo stesso sotto le sole ipotesi della seconda definizione. Questo è ovvio: provare per credere.
$(xe)^{-1}(ex)=e$. Segue $ex=xe$.
Credo che un procedimento analogo mostra che un inverso a sinistra è anche destro.
L'unica cosa da accertarsi è che la proprietà $e^{-1}x^{-1}=(xe)^{-1}$ si può dimostrare lo stesso sotto le sole ipotesi della seconda definizione. Questo è ovvio: provare per credere.
"ubermensch":
Quindi $(xe)^{-1}(ex)=e$. Segue $ex=xe$
Mi sono perso questo ultimo passaggio: da $(xe)^{-1}(ex)=e$ possiamo dedurre che $xe$ è l'inverso di $ex$ ma come facciamo a vedere che esiste l'elemento neutro?
moltiplicando a sinistra per $xe$ (e applicando la 2)) otteniamo $ex=xe$ che ti mostra che un elemento neutro a sinistra lo è anche a destra, semplicemente perchè $e$ commuta con tutto.
La dimostrazione di ubermensch non è formalmente corretta... Vedo di dare una dimostrazione.
Dato che l'inverso è solo l'inverso sinistro lo segno come $bar x$.
i) $y = x bar x$ allora $yy =x bar{x}x bar{x} = x( bar{x}x) bar{x} = y$. Consideriamo quindi $ bar{y}y = e$. Siccome $ bar{y}yy = bar{y}y$ ricaviamo $y = x bar x = e = bar{x}x$
ii) Dal primo punto abbiamo che $x = ex = x bar{x}x = xe$
--------------------------------------------------------------------------------------
Vedo di mostrare l'errore:
Lemma (1): $bar{y}bar{x}xy = e
Dimostrazione:
$bar{y}bar{x}xy = bar{y}(bar{x}x)y = bar{y}(bar{x}x)y = e$
[NON me la sento di scrivere che $bar{y}bar{x}$ come l'inverso perché non ho dimostrato l'unicità dell'inverso. D'altra parte accettiamolo per ora quindi scriveremo $bar{y}bar{x} = bar{(xy)}$]
i) $bar{x}x = e$ da cui segue $ebar{x}ex = e$. Siccome $ee=e$ allora $e=bar{x}$ (in realtà non si potrebbe ancora dire). Se ne deduce che $e bar{x} = bar{(xe)}$.
Ricaviamo quindi $bar{(xe)}ex = e$. Ricordando che non è stato ancora dimostrato l'unicità dell'inverso dobbiamo seguire un'altra strada (anche se abbiamo usato questo fatto già varie volte).
Proviamo, come dice ubermensch a moltiplicare a sinistra per $xe$... $xe bar{(xe)}ex = e$ e ora? Assolutamente nulla: $bar{(xe)}$ è inverso sinistro e ora lo dovremmo usare come inverso destro, il problema è che il fatto che esso è anche inverso destro è esattamente quello che dobbiamo dimostrare!
P.S: L'unico modo che avresti per sorvolare l'errore (anzi gli errori) sarebbe quello di dimostrare l'unicità dell'inverso ma ti renderai conto che essa è una conseguenza del fatto che l'inverso sinistro è anche destro.
Dato che l'inverso è solo l'inverso sinistro lo segno come $bar x$.
i) $y = x bar x$ allora $yy =x bar{x}x bar{x} = x( bar{x}x) bar{x} = y$. Consideriamo quindi $ bar{y}y = e$. Siccome $ bar{y}yy = bar{y}y$ ricaviamo $y = x bar x = e = bar{x}x$
ii) Dal primo punto abbiamo che $x = ex = x bar{x}x = xe$
--------------------------------------------------------------------------------------
Vedo di mostrare l'errore:
Lemma (1): $bar{y}bar{x}xy = e
Dimostrazione:
$bar{y}bar{x}xy = bar{y}(bar{x}x)y = bar{y}(bar{x}x)y = e$
[NON me la sento di scrivere che $bar{y}bar{x}$ come l'inverso perché non ho dimostrato l'unicità dell'inverso. D'altra parte accettiamolo per ora quindi scriveremo $bar{y}bar{x} = bar{(xy)}$]
i) $bar{x}x = e$ da cui segue $ebar{x}ex = e$. Siccome $ee=e$ allora $e=bar{x}$ (in realtà non si potrebbe ancora dire). Se ne deduce che $e bar{x} = bar{(xe)}$.
Ricaviamo quindi $bar{(xe)}ex = e$. Ricordando che non è stato ancora dimostrato l'unicità dell'inverso dobbiamo seguire un'altra strada (anche se abbiamo usato questo fatto già varie volte).
Proviamo, come dice ubermensch a moltiplicare a sinistra per $xe$... $xe bar{(xe)}ex = e$ e ora? Assolutamente nulla: $bar{(xe)}$ è inverso sinistro e ora lo dovremmo usare come inverso destro, il problema è che il fatto che esso è anche inverso destro è esattamente quello che dobbiamo dimostrare!
P.S: L'unico modo che avresti per sorvolare l'errore (anzi gli errori) sarebbe quello di dimostrare l'unicità dell'inverso ma ti renderai conto che essa è una conseguenza del fatto che l'inverso sinistro è anche destro.
Comunque più che alternativa la definirei minimale. Può essere utile definirla in quel modo perché riduci le cose da dimostrare se devi dimostrare che qualcosa è un gruppo...
Quindi in che altro modo posso operare? Non riesco a venirne fuori...
Te lo ha mostrato vict85 prima dei tratteggi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo