Definizione algebrica di $RR$
Fino ad ora non mi è ancora capitato di leggere una definizione prettamente algebrica di [tex]\mathbb{R}[/tex], quella che conosco io è quella ottenuta quozientando l'insieme delle successioni di Cauchy in [tex]\mathbb{Q}[/tex] mediante la relazione di equivalenza che identifica due successioni se "convergono" allo stesso numero (tra virgolette perchè non si può parlare propriamente di convergenza, sarebbe [tex]\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+^* \exists \nu \in \mathbb{N} \ t.c.\ \forall n \geq \nu:\ |x_n-y_n|<\varepsilon[/tex]), che mi pare essere una definizione analitica (o geometrica, se immaginiamo di lavorare in spazi metrici). Forse potrebbe avere a che fare con i numeri trascendenti su [tex]\mathbb{Q}[/tex], ma non saprei bene, visto che sono infiniti gli elementi di [tex]\mathbb{R}[/tex] trascendenti su [tex]\mathbb{Q}[/tex] (cioè, ad esempio, [tex]\mathbb{Q}(\pi)[/tex] è molto diverso da [tex]\mathbb{R}[/tex]...)
Risposte
Ah, c'è anche la costruzione che utilizza le sezioni di Dedekind, ma anche questa mi pare più analitica.
Se ne è già parlato: tutto è originato da questo post di Martino, poi segui il link fornito da Paolo90.
La definizione algebrica di [tex]\mathbb R[/tex] che cerchi dovrebbe essere la seguente:
Definiamo la collezione di mappe:
[tex]\mathcal F := \{f_i:\mathbb Z \to \mathbb Z\}[/tex]
tali che l'insieme, fissato [tex]i[/tex], [tex]\{f_i(n+m)-f_i(m)-f_i(n): n,m \in \mathbb Z\}[/tex] sia finito. Definiamo inoltre la relazione di equivalenza tra mappe con questa proprietà come:
[tex]f \sim g \leftrightarrows \{f(n)-g(n): n \in \mathbb Z\}[/tex] è finito.
Allora [tex]\displaystyle \mathbb R \equiv \frac{\mathcal F}{\sim}[/tex].
La dimostrazione di questo è un poco noiosa e la lascio al lettore (sempre che per amore di dettagli non mi sia richiesto), ma la cosa ottima è che questa costruzione è amabilmente in linea con una costruzione insiemistica non alla Zermelo Frenkel e non necessita dell'Assioma della Scelta.
Osserviamo che la addizione tra reali sarebbe corrispondente alla classe della somma delle mappe qui rappresentate (in letteratura sono chiamate "almost homomorphism"), mentre il prodotto come la classe della composizione delle mappe. [tex]\diamond[/tex]
Osservazioni:
Definiamo la collezione di mappe:
[tex]\mathcal F := \{f_i:\mathbb Z \to \mathbb Z\}[/tex]
tali che l'insieme, fissato [tex]i[/tex], [tex]\{f_i(n+m)-f_i(m)-f_i(n): n,m \in \mathbb Z\}[/tex] sia finito. Definiamo inoltre la relazione di equivalenza tra mappe con questa proprietà come:
[tex]f \sim g \leftrightarrows \{f(n)-g(n): n \in \mathbb Z\}[/tex] è finito.
Allora [tex]\displaystyle \mathbb R \equiv \frac{\mathcal F}{\sim}[/tex].
La dimostrazione di questo è un poco noiosa e la lascio al lettore (sempre che per amore di dettagli non mi sia richiesto), ma la cosa ottima è che questa costruzione è amabilmente in linea con una costruzione insiemistica non alla Zermelo Frenkel e non necessita dell'Assioma della Scelta.
Osserviamo che la addizione tra reali sarebbe corrispondente alla classe della somma delle mappe qui rappresentate (in letteratura sono chiamate "almost homomorphism"), mentre il prodotto come la classe della composizione delle mappe. [tex]\diamond[/tex]
Osservazioni:
[*:3qyotmn8]La costruzione qui esposta, oltre ad essere un pochetto differente dalle sezioni di Dedekind, è più semplice da lavorare [/*:m:3qyotmn8]
[*:3qyotmn8]Qui si evince più facilmente come sia possibile mettere in corrispondenza l'insieme delle funzioni razionali con [tex]\aleph_1[/tex].[/*:m:3qyotmn8][/list:u:3qyotmn8]
Breve bibliografia ove vengono dettagliate le dimostrazioni.
- [*:3qyotmn8]Eudoxus Real numbers[/*:m:3qyotmn8]
[*:3qyotmn8]A Natural Construction for the real numbers[/*:m:3qyotmn8][/list:u:3qyotmn8]
Scusatemi, l'argomento era già stato trattato 
Forse si dovrebbe cancellare questo thread, comunque grazie a entrambi 
Forse si dovrebbe cancellare questo thread, comunque grazie a entrambi
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