$Def.$ di "struttura algebrica" più formale......
Salve a tutti,
susatemi per la banalità della domanda
, nei miei studi ho incontrato il concetto di struttura algebrica come un insieme presso cui è ovunque definita un'operazione interna o esterna binaria o n-aria.. mi domandavo, come semplice curiosità, però se esiste una def. un pò più formale, perchè dire "un insieme presso cui" è un pò informale se non troppo intuitivo, a mio parere....
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
susatemi per la banalità della domanda
, nei miei studi ho incontrato il concetto di struttura algebrica come un insieme presso cui è ovunque definita un'operazione interna o esterna binaria o n-aria.. mi domandavo, come semplice curiosità, però se esiste una def. un pò più formale, perchè dire "un insieme presso cui" è un pò informale se non troppo intuitivo, a mio parere.... Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
Risposte
Ciao maurer,
grazie per la segnalazione, ora mi accingo a leggerlo
Cordiali saluti
grazie per la segnalazione, ora mi accingo a leggerlo
Cordiali saluti
"maurer":
Click.
Gavte la nata, tu che come me demandi ad altri l'onere di spiegare quel che e' stato chiesto.
A parte gli scherzi, per chi vuole leggere, ottimi libri di algebra universale sono il Garrett-Birkhoff e questo, su cui quel poco che so l'ho studiato io. Un capitolo del mio libro di Algebra preferito, il Grillet, e' dedicato all'algebra universale e alle varieta' di algebre (e' il mio preferito perche' lo fa -anche- con le monadi, ma questa e' un'altra storia).
LOL.
Se volesse chiarimenti ulteriori sono qui a rispondere, comunque, nei limiti delle mie possibilità e conoscenze.
Se volesse chiarimenti ulteriori sono qui a rispondere, comunque, nei limiti delle mie possibilità e conoscenze.
"killing_buddha":
[quote="maurer"]Click.
Gavte la nata, tu che come me demandi ad altri l'onere di spiegare quel che e' stato chiesto.
A parte gli scherzi, per chi vuole leggere, ottimi libri di algebra universale sono il Garrett-Birkhoff e questo, su cui quel poco che so l'ho studiato io. Un capitolo del mio libro di Algebra preferito, il Grillet, e' dedicato all'algebra universale e alle varieta' di algebre (e' il mio preferito perche' lo fa -anche- con le monadi, ma questa e' un'altra storia).[/quote]
I libri cui fai riferimento sono questi due:Grillett e Birkhoff?
Grazie.
Sull'Algebra di MacLane/Birkhoff c'è un paragrafo relativo gli elementi universali e la dualità; si tratta di quanto indicato prima?
Il Grillet e' quello giusto: l'altro no, ma mi sono sbagliato io confondendo due libri 
Ciao maurer,
ho letto qualcosa, non è che mi interessava il tutto ma solamente questo, ove leggo:
quindi è come se dicessi che una struttura algebrica è una coppia ordinata $(A,z)$ ove $A$ è un insieme ed $z$ è un insieme di operazioni n-arie su $A$, giusto?
Però penso che si potrebbe anche definire come, l'ho letto in alcuni scritti di Arno Predonzan, con la scrittura $(A; f,g,h,...; i,j,k,...)$ ove $A$ è un insieme ed $f,g,h,...$ sono operazioni n-arie interne ad $A$ ed $i,j,k,...$ sono operazioni n-arie esterne ad $A$.
Dove la differenza? Bhè è evidente, nella scrittura "diciamo" di Predonzan le operazioni n-arie, interne ed esterne, non sono "raccolte" in un insieme $z$ come avviene invece nell'altra....giusto?
Non sapevo che si potevano "raccogliere" le operazioni n-arie in un insieme
.....Interessante! 
Cordiali saluti
"maurer":
Click.
ho letto qualcosa, non è che mi interessava il tutto ma solamente questo, ove leggo:
From the point of view of universal algebra, an algebra (or algebraic structure) is a set A together with a collection of operations on A
quindi è come se dicessi che una struttura algebrica è una coppia ordinata $(A,z)$ ove $A$ è un insieme ed $z$ è un insieme di operazioni n-arie su $A$, giusto?
Però penso che si potrebbe anche definire come, l'ho letto in alcuni scritti di Arno Predonzan, con la scrittura $(A; f,g,h,...; i,j,k,...)$ ove $A$ è un insieme ed $f,g,h,...$ sono operazioni n-arie interne ad $A$ ed $i,j,k,...$ sono operazioni n-arie esterne ad $A$.
Dove la differenza? Bhè è evidente, nella scrittura "diciamo" di Predonzan le operazioni n-arie, interne ed esterne, non sono "raccolte" in un insieme $z$ come avviene invece nell'altra....giusto?
Non sapevo che si potevano "raccogliere" le operazioni n-arie in un insieme
.....Interessante! Cordiali saluti
La cosa che proponi è più o meno corretta, ma la sua formalizzazione è un po' più raffinata. E le operazioni esterne vengono (classicamente) inglobate ma in maniera diversa da come ti aspetti tu: diventano parte della segnatura del linguaggio.
Per fare un esempio concreto, gli spazi vettoriali sul campo [tex]k[/tex] sono formalizzati al prim'ordine in questo modo: si considera il linguaggio [tex]\mathcal L[/tex] che è formato dai seguenti simboli: [tex]+[/tex], un'operazione di arietà 2, [tex]\mathbf 0[/tex] un simbolo di costante (o un'operazione di arietà 0), [tex]-[/tex] un'operazione di arietà 1 più un simbolo di funzione [tex]\mu_x[/tex] di arietà 1 per ogni elemento [tex]x \in k[/tex]. Questa è la segnatura della teoria dei [tex]k[/tex]-spazi vettoriali.
Poi quando ti metti in un modello [tex]M[/tex], [tex]+^M[/tex] è come un'operazione binaria totale interna, [tex]-^M[/tex] è un'operazione unaria totale interna e per ogni [tex]x \in k[/tex] hai anche una funzione unaria interna [tex]\mu_x^M[/tex]. Al variare di [tex]x \in k[/tex]. Quindi hai una funzione in [tex]\hom(k, \hom(M,M))[/tex], che se vuoi puoi rivedere come un'operazione esterna [tex]k \times M \to M[/tex].
Ti consiglio di studiare seriamente un po' di teoria dei modelli: risolverebbe tutti i tuoi dubbi.
Per fare un esempio concreto, gli spazi vettoriali sul campo [tex]k[/tex] sono formalizzati al prim'ordine in questo modo: si considera il linguaggio [tex]\mathcal L[/tex] che è formato dai seguenti simboli: [tex]+[/tex], un'operazione di arietà 2, [tex]\mathbf 0[/tex] un simbolo di costante (o un'operazione di arietà 0), [tex]-[/tex] un'operazione di arietà 1 più un simbolo di funzione [tex]\mu_x[/tex] di arietà 1 per ogni elemento [tex]x \in k[/tex]. Questa è la segnatura della teoria dei [tex]k[/tex]-spazi vettoriali.
Poi quando ti metti in un modello [tex]M[/tex], [tex]+^M[/tex] è come un'operazione binaria totale interna, [tex]-^M[/tex] è un'operazione unaria totale interna e per ogni [tex]x \in k[/tex] hai anche una funzione unaria interna [tex]\mu_x^M[/tex]. Al variare di [tex]x \in k[/tex]. Quindi hai una funzione in [tex]\hom(k, \hom(M,M))[/tex], che se vuoi puoi rivedere come un'operazione esterna [tex]k \times M \to M[/tex].
Ti consiglio di studiare seriamente un po' di teoria dei modelli: risolverebbe tutti i tuoi dubbi.
Salve maurer,
ti ringrazio moltissimo della spiegazione , molto interessante... Ammetto, però, la mia ignoranza in teoria dei modelli e nei lignuaggi formali, sicuramente appena avrò un pò di tempo, come ho già detto per la teoria delle categorie, mi cimenterò in questi....
Ti ringrazio moltissimo... Sei sempre di grande aiuto e di grande spunto.
Cordiali saluti
"maurer":
La cosa che proponi è più o meno corretta, ma la sua formalizzazione è un po' più raffinata. E le operazioni esterne vengono (classicamente) inglobate ma in maniera diversa da come ti aspetti tu: diventano parte della segnatura del linguaggio.
Per fare un esempio concreto, gli spazi vettoriali sul campo [tex]k[/tex] sono formalizzati al prim'ordine in questo modo: si considera il linguaggio [tex]\mathcal L[/tex] che è formato dai seguenti simboli: [tex]+[/tex], un'operazione di arietà 2, [tex]\mathbf 0[/tex] un simbolo di costante (o un'operazione di arietà 0), [tex]-[/tex] un'operazione di arietà 1 più un simbolo di funzione [tex]\mu_x[/tex] di arietà 1 per ogni elemento [tex]x \in k[/tex]. Questa è la segnatura della teoria dei [tex]k[/tex]-spazi vettoriali.
Poi quando ti metti in un modello [tex]M[/tex], [tex]+^M[/tex] è come un'operazione binaria totale interna, [tex]-^M[/tex] è un'operazione unaria totale interna e per ogni [tex]x \in k[/tex] hai anche una funzione unaria interna [tex]\mu_x^M[/tex]. Al variare di [tex]x \in k[/tex]. Quindi hai una funzione in [tex]\hom(k, \hom(M,M))[/tex], che se vuoi puoi rivedere come un'operazione esterna [tex]k \times M \to M[/tex].
Ti consiglio di studiare seriamente un po' di teoria dei modelli: risolverebbe tutti i tuoi dubbi.
ti ringrazio moltissimo della spiegazione
, molto interessante... Ammetto, però, la mia ignoranza in teoria dei modelli e nei lignuaggi formali, sicuramente appena avrò un pò di tempo, come ho già detto per la teoria delle categorie, mi cimenterò in questi....Ti ringrazio moltissimo... Sei sempre di grande aiuto e di grande spunto.
Cordiali saluti
Garnak in rete c'è molto sulla teoria dei modelli, e volevo segnalarti questo documento: http://www.math.uiuc.edu/People/pillay/lecturenotes_modeltheory.pdf.
Salve GundamRX91,
ti ringrazio per la segnalazione del testo, come ringrazio anche kiling_buddha per la segnalazione sua:
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Garnak in rete c'è molto sulla teoria dei modelli, e volevo segnalarti questo documento: http://www.math.uiuc.edu/People/pillay/lecturenotes_modeltheory.pdf.
ti ringrazio per la segnalazione del testo, come ringrazio anche kiling_buddha per la segnalazione sua:
"killing_buddha":
A parte gli scherzi, per chi vuole leggere, ottimi libri di algebra universale sono il Garrett-Birkhoff e questo, su cui quel poco che so l'ho studiato io. Un capitolo del mio libro di Algebra preferito, il Grillet, e' dedicato all'algebra universale e alle varieta' di algebre (e' il mio preferito perche' lo fa -anche- con le monadi, ma questa e' un'altra storia).
Cordiali saluti
Salve maurer,
scusami per la banalità della domanda, ma esistono, oppure è lecito parlare di
, insiemi di strutture algebriche ?
E se si, esistono funzioni tra questi insiemi, oppure operazione tra questi..?
Cordiali saluti
scusami per la banalità della domanda, ma esistono, oppure è lecito parlare di
, insiemi di strutture algebriche ? E se si, esistono funzioni tra questi insiemi, oppure operazione tra questi..?
Cordiali saluti
Sì, si chiamano categorie. Ma in generale non sono insiemi, sono classi, nel senso di NBG (oppure ti fissi un universo di Grothendieck e cancelli ogni sorta di problema di grandezza).
Le "funzioni" tra categorie algebriche sono chiamate funtori.
Tecnicamente tu saresti interessato alle categorie algebriche, ma la definizione è tecnica come puoi ben vedere (una categoria monadica su Set).
Le "funzioni" tra categorie algebriche sono chiamate funtori.
Tecnicamente tu saresti interessato alle categorie algebriche, ma la definizione è tecnica come puoi ben vedere (una categoria monadica su Set).
Salve maurer,
ora mi accingo a leggerlo, e ti faro sapere. Grazie mille!
Cordiali saluti
"maurer":
Sì, si chiamano categorie. Ma in generale non sono insiemi, sono classi, nel senso di NBG (oppure ti fissi un universo di Grothendieck e cancelli ogni sorta di problema di grandezza).
Le "funzioni" tra categorie algebriche sono chiamate funtori.
Tecnicamente tu saresti interessato alle categorie algebriche, ma la definizione è tecnica come puoi ben vedere (una categoria monadica su Set).
ora mi accingo a leggerlo, e ti faro sapere. Grazie mille!
Cordiali saluti
Ciao maurer,
premetto che non l'ho ancora letto... l'ho visionato velocemente.... Tra le mani mi hanno fornito degli appunti del docente V. ZAMBELLI, in particolare questi, ove leggo una serie di proposizioni ed altro che ho postato di seguito:
Ora, da quello che si legge il docente utilizzata il concetto di famiglia per raggruppare strutture algebriche.... secondo te è lecito farlo oppure è il docente che sbaglia?... ovviamente tanto di capello alla teoria delle categorie ma non vorrei smuovere un pò troppo le acque perchè se il concetto di famiglia è sufficiente a raggruppare le strutture algebriche allora per il momento preferirei utilizzare questo.... ovviamente con la prospettiva che prima o poi un domani dovrò studiare un pò di teoria delle categorie
Cosa ne pensi in merito?
Cordiali saluti
premetto che non l'ho ancora letto... l'ho visionato velocemente.... Tra le mani mi hanno fornito degli appunti del docente V. ZAMBELLI, in particolare questi, ove leggo una serie di proposizioni ed altro che ho postato di seguito:
Ora, da quello che si legge il docente utilizzata il concetto di famiglia per raggruppare strutture algebriche.... secondo te è lecito farlo oppure è il docente che sbaglia?... ovviamente tanto di capello alla teoria delle categorie ma non vorrei smuovere un pò troppo le acque perchè se il concetto di famiglia è sufficiente a raggruppare le strutture algebriche allora per il momento preferirei utilizzare questo.... ovviamente con la prospettiva che prima o poi un domani dovrò studiare un pò di teoria delle categorie
Cosa ne pensi in merito?
Cordiali saluti
Tutto quello che c'è scritto in quelle pagine è formalmente corretto, non comprendo allora il tuo dubbio.
In particolare nelle prime tre, consideri famiglie di sottostrutture, quindi non c'è nemmeno il problema di grandezza (ma non c'è nemmeno dopo, visto che le famiglie sono indicizzate su un insieme).
Guarda che famiglia non è un concetto nuovo: è semplicemente un'unione disgiunta di insiemi... per definizione...
In particolare nelle prime tre, consideri famiglie di sottostrutture, quindi non c'è nemmeno il problema di grandezza (ma non c'è nemmeno dopo, visto che le famiglie sono indicizzate su un insieme).
Guarda che famiglia non è un concetto nuovo: è semplicemente un'unione disgiunta di insiemi... per definizione...
Ciao maurer,
mi sà che mi sfugge qualcosa
, devo focalizzare meglio il mio problema ...
Cordiali saluti
mi sà che mi sfugge qualcosa
, devo focalizzare meglio il mio problema ...Cordiali saluti
Io credo, se ho capito le domande che ti fai, che ti senti a disagio perché non hai mai trovato su un libro la definizione di "famiglia". Non credo che la troverai, io non mi ricordo di averla mai incontrata. Tutti usano la parola famiglia come sinonimo di insieme. Talvolta, come faccio io ad esempio, con famiglia si intende un'unione disgiunta di insiemi, ossia un insieme di insiemi con la proprietà di essere a due a due disgiunti, ma non necessariamente: dipende molto dal contesto. Ad esempio, se io dico: consideriamo la famiglia [tex]\{H_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}[/tex] di sottogruppi del gruppo [tex]G[/tex], non intendo ovviamente dire che [tex]H_\lambda \cap H_\mu = \emptyset[/tex] se [tex]\lambda \ne \mu[/tex] (cosa peraltro impossibile).
Se invece voglio parlare di prodotto cartesiano di gruppi dirò: consideriamo una famiglia [tex]\{G_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}[/tex] di gruppi (a due a due disgiunti). In questo caso non si perde in generalità a chiedere che siano a due a due disgiunti: infatti, puoi sempre rimpiazzare [tex]G_\lambda[/tex] con [tex]G_\lambda \times \{\lambda\} \subseteq \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda} G_\lambda \right) \times \Lambda[/tex], senza alterarne la struttura di gruppo.
Se invece voglio parlare di prodotto cartesiano di gruppi dirò: consideriamo una famiglia [tex]\{G_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}[/tex] di gruppi (a due a due disgiunti). In questo caso non si perde in generalità a chiedere che siano a due a due disgiunti: infatti, puoi sempre rimpiazzare [tex]G_\lambda[/tex] con [tex]G_\lambda \times \{\lambda\} \subseteq \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda} G_\lambda \right) \times \Lambda[/tex], senza alterarne la struttura di gruppo.
Tecnicamente una "famiglia" di foobar e' un funtore $F : I\to \mathbf{Fo oB}$, dove $I$ e' una categoria piccola e discreta (ossia non esistono morfismi diversi dalle identita').
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