Decomposizione in moduli semplici
Ciao a tutti, rieccomi con un nuovo problema.
Si consideri il gruppo $ G = F_2 xx F_2 $ dove $F_2$ indica il gruppo di ordine 2, (in notazione moltiplicativa), e l'algebra gruppo $C[G]$ sui complessi.
Decomporre $C[G]$, in quando modulo su se stesso, nella somma diretta di moduli semplici di dimensione 1.
Ho fatto esercizi simili, ma non riesco ad applicare le stesse strategie. In particolare quello che "so fare" (sperando di averlo fatto bene) è:
- Decomporre il $C[H]-$modulo 2-dimensionale $V$, dove $H$ è il gruppo di ordine 3, con generatore $g$ (sempre in notazione moltiplicativa) e l'azione di $H$ sulla base di $V$ è data da:
$ gv_1=-v_2 $ e $ gv_2=-v_1-v_2 $
Qui la strategia che ho usato è piuttosto diretta: Si vede $V$ come $C-$spazio vettoriale equipaggiato con l'azione di $H$ e si cercano gli autovettori di $g$ rappresentato come applicazione lineare su $V$.
- Spezzare l'algebra gruppo $C[F_2]$ in due moduli semplici di dimensione 1, ovvero in $C^2$, mediante l'isomorfismo di moduli:
$a+fb -> (a+b,a-b)$, dove $f$ è il generatore di $F_2$.
Non riesco ad usare queste cose per spezzare quel $V$ in somma di mod semplici.. se qualcuno può aiutarmi gli sarei molto grata.
Grazie,
Claudia
Si consideri il gruppo $ G = F_2 xx F_2 $ dove $F_2$ indica il gruppo di ordine 2, (in notazione moltiplicativa), e l'algebra gruppo $C[G]$ sui complessi.
Decomporre $C[G]$, in quando modulo su se stesso, nella somma diretta di moduli semplici di dimensione 1.
Ho fatto esercizi simili, ma non riesco ad applicare le stesse strategie. In particolare quello che "so fare" (sperando di averlo fatto bene) è:
- Decomporre il $C[H]-$modulo 2-dimensionale $V$, dove $H$ è il gruppo di ordine 3, con generatore $g$ (sempre in notazione moltiplicativa) e l'azione di $H$ sulla base di $V$ è data da:
$ gv_1=-v_2 $ e $ gv_2=-v_1-v_2 $
Qui la strategia che ho usato è piuttosto diretta: Si vede $V$ come $C-$spazio vettoriale equipaggiato con l'azione di $H$ e si cercano gli autovettori di $g$ rappresentato come applicazione lineare su $V$.
- Spezzare l'algebra gruppo $C[F_2]$ in due moduli semplici di dimensione 1, ovvero in $C^2$, mediante l'isomorfismo di moduli:
$a+fb -> (a+b,a-b)$, dove $f$ è il generatore di $F_2$.
Non riesco ad usare queste cose per spezzare quel $V$ in somma di mod semplici.. se qualcuno può aiutarmi gli sarei molto grata.
Grazie,
Claudia
Risposte
In generale, per un gruppo abeliano $G$ arbitrario, l'algebra $CC[G]$
e somma diretta di moduli semplici di dimensione 1.
Per vedere questo, sia $\hat A$ il gruppo duale di $A$. In altre parole
$\hat A$ consiste negli omomorfismi (o caratteri) $\chi:A\rightarrow CC^{\times}$ con
moltiplicazione $(\chi_1\chi_2)(a) = \chi_1(a)\chi_2(a)$ per ogni $a\in A$.
Il gruppo $\hat A$ e' isomorfo (in modo non canonico) ad $A$.
Per ogni $\chi\in\hat A$, sia $C(\chi)$ il $CC[G]$-modulo di dimensione 1
con azione di $G$ data da $[g]*x=\chi(g)x$ per $g\in G$ e $x\in CC(\chi)$.
La mappa $CC[G]\longrightarrow \prod_{\chi\in \hat A} CC(chi)$
che manda $[g]$ nel vettore $(\chi(g))_{\chi\in\hat A}$ e' un isomorfismo di $CC[G]$-moduli.
Questo segue dalle relazioni di ortogonalita' dei caratteri $\chi\in \hat A$.
e somma diretta di moduli semplici di dimensione 1.
Per vedere questo, sia $\hat A$ il gruppo duale di $A$. In altre parole
$\hat A$ consiste negli omomorfismi (o caratteri) $\chi:A\rightarrow CC^{\times}$ con
moltiplicazione $(\chi_1\chi_2)(a) = \chi_1(a)\chi_2(a)$ per ogni $a\in A$.
Il gruppo $\hat A$ e' isomorfo (in modo non canonico) ad $A$.
Per ogni $\chi\in\hat A$, sia $C(\chi)$ il $CC[G]$-modulo di dimensione 1
con azione di $G$ data da $[g]*x=\chi(g)x$ per $g\in G$ e $x\in CC(\chi)$.
La mappa $CC[G]\longrightarrow \prod_{\chi\in \hat A} CC(chi)$
che manda $[g]$ nel vettore $(\chi(g))_{\chi\in\hat A}$ e' un isomorfismo di $CC[G]$-moduli.
Questo segue dalle relazioni di ortogonalita' dei caratteri $\chi\in \hat A$.
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