Decomposizione in gruppi ciclici... dubbi

[gattosilvestro1]

salve a tutti! sono una studentessa di matematica, ho incontrato questo forum per caso un attimo prima di prendere a testate il muro per la disperazione. non riesco a venire a capo di un esercizio che sulla carta mi sembra piuttosto banale! help!
devo determinare una decomposizione come prodotto di gruppi ciclici del gruppo degli invertibili di Z[size=50]28[/size].

io ho calcolato la funzione di eulero per 28 per determinare l'ordine di U(Z[size=50]28[/size]) che è di 12 elementi. li ho scritti: (1,3,5,9,11,13,15,17,19,23,25,27).
ho un gruppo di 12 elementi, scrivo la fattorizzazione di 12=$2^2$x3. i possibili isomorfismi quindi saranno con Z[size=50]2[/size]xZ[size=50]2[/size]xZ[size=50]3[/size] oppure con Z[size=50]4[/size]xZ[size=50]3[/size].

qui mi perdo. come faccio a scegliere uno dei due? in genere procedevo con l'analisi degli ordini degli elementi ma 3 mod 12 è sempre o 3 o 9!
help please

[Soloandre1]

Ciao Gattosilvestro,
anch'io ho recentemente scoperto questo forum (per colpa o per merito dell'esame di Algebra2) e mi è stato di grande grande aiuto.

Non ho capito il tuo problema, dici che $ 3 mod 12 = 9 vvv 3$ ?


Comunque, anch'io proverei la strada dell'ordine degli elementi.
Prendi l'elemento
$x=(1,2) in ZZ_4xZZ_3$
Se non ho fatto male i conti
$pi(x)=12$.

Ora, nell'altro gruppo ciclico che hai menzionato non esistono elementi di periodo 12 (sempre se non ho fatto male i conti a quest'ora); quindi, se trovi un elemento $y in U(ZZ_28)$ tale che $pi(y)=12$ possiamo concludere giusto?

Spero che qualcuno piu saggio di me possa confermare!

Andrea