Decomposizione in cicli disgiunti
Buongiorno, sono nuovo del forum. Spero di non violare nessuna regola avendo letto il regolamento.
Ho una richiesta da fare, riguardo una tipologia di esercizi su matematica discreta, che non riesco a capire.
Un esempio di esercizio è:
Date le permutazioni in S8 come prodotti di cicli: σ=(134)(358) e τ=(18)(3768)(36), determinare la decomposizione in cicli disgiunti di σ e τ, calcolare il periodo di σ, τ e στ e determinare il nucleo della funzione f:Z10 -> S8, f(k) = σ^k
Se qualcuno riesce a spiegarmi i procedimenti da fare per risolverli mi fa un piacere, perchè è uno degli ultimi esami universitari che mi mancano e proprio non so da dove iniziare.
Ho una richiesta da fare, riguardo una tipologia di esercizi su matematica discreta, che non riesco a capire.
Un esempio di esercizio è:
Date le permutazioni in S8 come prodotti di cicli: σ=(134)(358) e τ=(18)(3768)(36), determinare la decomposizione in cicli disgiunti di σ e τ, calcolare il periodo di σ, τ e στ e determinare il nucleo della funzione f:Z10 -> S8, f(k) = σ^k
Se qualcuno riesce a spiegarmi i procedimenti da fare per risolverli mi fa un piacere, perchè è uno degli ultimi esami universitari che mi mancano e proprio non so da dove iniziare.
Risposte
La composizione di $(134)$ e di $(358)$ dà una permutazione ben precisa, tròvala. Questa, ora, ammette un'unica decomposizione in cicli disgiunti. Scrìvila, nel modo in cui si scrivono tutte quante. Fai lo stesso con $\tau$. Poi, il periodo di una permutazione scritta come cicli è il minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli. Una volta che l'hai trovato per $\sigma$, quanti multipli di $\text{ord }\sigma$ ci sono in $\mathbb Z_{10}$?
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