Decomposizione in cicli disgiunti
Ciao a tutti,
ho il seguente esercizio sulle permutazioni:
F=(2345)(35)(479)(218)
Il risultato indicato dal libro è: (1832)(4795)
Ho preso i numeri da 1 a 9, e ho verificato a cosa sono associati in ciascun ciclo ad es:
1->8 (18)
2->3->5 (25)
e così via. Ottengo un risultato completamente diverso, ossia:(18)(25)(3794)
non riesco a capire il meccanismo... per "convertire" i cicli non disgiunti, in cicli disgiunti
Grazie in anticipo.
ho il seguente esercizio sulle permutazioni:
F=(2345)(35)(479)(218)
Il risultato indicato dal libro è: (1832)(4795)
Ho preso i numeri da 1 a 9, e ho verificato a cosa sono associati in ciascun ciclo ad es:
1->8 (18)
2->3->5 (25)
e così via. Ottengo un risultato completamente diverso, ossia:(18)(25)(3794)
non riesco a capire il meccanismo... per "convertire" i cicli non disgiunti, in cicli disgiunti
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao 
L'errore sta nel fatto che non segui tutti i cicli, mi spiego:
tu hai $(2345)(35)(479)(218)$
e sei partita da $1$, quindi giustamente hai aperto un ciclo:
$(1...$, adesso: $1$ viene mandato in $8$ e $8$ viene lasciato fisso dai cicli a sinistra quindi scrivi
$(1 8 ...)$
Tu però ti sei fermato e hai scritto $(1 8)$ ma questo è falso perché $8$ viene mandanto in $2$ nel primo ciclo, $2$ viene lasciato fisso da $(4,7,9)$ e $(3,5)$ ma viene mandato in $3$ da $(2 3 4 5)$
quindi la corretta continuazione è:
$(1 8 3...)$
adesso: $3$ viene lasciato fisso dai primi due cicli alla destra, e viene mandato in $5$ da $(35)$, $5$ viene mandato in $2$ da $(2345)$, per cui hai $(1 8 3 2 ...)$, $2$ viene mandato in $1$ dal primo ciclo a partire da destra e viene lasciato fisso dagli altri quindi ottieni $(1 8 3 2)$(chiudo perché 2 viene mandato in $1$).
Non so se riesci a intuire il meccanismo che c'è dietro: prendi un numero $n$ e apri il ciclo $(n ...$, poi butti $n$ nel primo ciclo alla destra, questo ciclo ti dà un altro numero(o lo stesso se viene lasciato fisso) e tu lo butti nel ciclo affianco e così via fin quando non finisci tutti i cicli. Il risultato che ti viene sarà il trasformato di $n$ e quindi hai $(n, m ... $, ripeti lo stesso procedimento con quest'ultimo numero e così via. Chiudi il ciclo aperto quando ottieni di nuovo $n$.
L'errore sta nel fatto che non segui tutti i cicli, mi spiego:
tu hai $(2345)(35)(479)(218)$
e sei partita da $1$, quindi giustamente hai aperto un ciclo:
$(1...$, adesso: $1$ viene mandato in $8$ e $8$ viene lasciato fisso dai cicli a sinistra quindi scrivi
$(1 8 ...)$
Tu però ti sei fermato e hai scritto $(1 8)$ ma questo è falso perché $8$ viene mandanto in $2$ nel primo ciclo, $2$ viene lasciato fisso da $(4,7,9)$ e $(3,5)$ ma viene mandato in $3$ da $(2 3 4 5)$
quindi la corretta continuazione è:
$(1 8 3...)$
adesso: $3$ viene lasciato fisso dai primi due cicli alla destra, e viene mandato in $5$ da $(35)$, $5$ viene mandato in $2$ da $(2345)$, per cui hai $(1 8 3 2 ...)$, $2$ viene mandato in $1$ dal primo ciclo a partire da destra e viene lasciato fisso dagli altri quindi ottieni $(1 8 3 2)$(chiudo perché 2 viene mandato in $1$).
Non so se riesci a intuire il meccanismo che c'è dietro: prendi un numero $n$ e apri il ciclo $(n ...$, poi butti $n$ nel primo ciclo alla destra, questo ciclo ti dà un altro numero(o lo stesso se viene lasciato fisso) e tu lo butti nel ciclo affianco e così via fin quando non finisci tutti i cicli. Il risultato che ti viene sarà il trasformato di $n$ e quindi hai $(n, m ... $, ripeti lo stesso procedimento con quest'ultimo numero e così via. Chiudi il ciclo aperto quando ottieni di nuovo $n$.
Quindi se ho capito bene, applicando il metodo al secondo ciclo(partendo da destra):
4-->7--9-->4 ossia 479...
poi il 4--> 5 nel 3 ciclo (partendo da destra) per cui ottengo:
(4795)
Ossia il risultato indicato : (1832)(4795)
E' giusto?
4-->7--9-->4 ossia 479...
poi il 4--> 5 nel 3 ciclo (partendo da destra) per cui ottengo:
(4795)
Ossia il risultato indicato : (1832)(4795)
E' giusto?
"Hornet345":
Quindi se ho capito bene, applicando il metodo al secondo ciclo(partendo da destra):
4-->7--9-->4 ossia 479...
poi il 4--> 5 nel 3 ciclo (partendo da destra) per cui ottengo:
(4795)
Ossia il risultato indicato : (1832)(4795)
E' giusto?
Sì partendo da destra, mentre scrivevo ho confuso la destra con la sinistra, facendo alcuni errori. Ho corretto
Comunque $4$ dovevi passarlo al primo ciclo partendo da destra, poi passarlo al secondo e così via.
In questo caso il risultato è giusto perché i numeri vengono lasciati fissi dal primo ciclo ma questo non sempre accade.
Per esempio se consideriamo $(1 3 2)(1 2 3)$ e partiamo da $3$:
Se $3$ non lo passo al primo ciclo da destra(cioè $(1, 2, 3)$) e ottenere $(3, 2 ...$ che è sbagliato. Infatti $3$ viene mandato prima in $1$ da $(1, 2, 3)$ e poi in $3$ da $(1 3 2)$ per cui ho $(3)$.
Prova con: $(1, 3)(2, 9)(1, 3, 6, 2, 4, 7)(5, 8, 10)$
Un dubbio:
parto sempre dall' insieme di riferimento? nel nostro caso:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10?
Cioè 1---->....
Oppure dal 10 presente nel primo ciclo da destra?
Grazie 1000
parto sempre dall' insieme di riferimento? nel nostro caso:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10?
Cioè 1---->....
Oppure dal 10 presente nel primo ciclo da destra?
Grazie 1000
Nel frattempo ho provato così:
1-->3-->6-->2-->9--1 (chiuso) quindi: 1 3 6 2 9
5-->8-->10-->5 (chiuso) quindi: 5 8 10
Il risultato dovrebbe essere: ( 1 3 6 2 9 )( 5 8 10 ).
A dire il vero, non sono molto convinto...
1-->3-->6-->2-->9--1 (chiuso) quindi: 1 3 6 2 9
5-->8-->10-->5 (chiuso) quindi: 5 8 10
Il risultato dovrebbe essere: ( 1 3 6 2 9 )( 5 8 10 ).
A dire il vero, non sono molto convinto...
"Hornet345":
Un dubbio:
parto sempre dall' insieme di riferimento? nel nostro caso:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10?
Cioè 1---->....
Oppure dal 10 presente nel primo ciclo da destra?
Grazie 1000
Puoi partire da qualsiasi numero dell'insieme di riferimento: i cicli disgiunti commutano per cui non ha importanza il numero con cui si parte.
"Hornet345":
Nel frattempo ho provato così:
1-->3-->6-->2-->9--1 (chiuso) quindi: 1 3 6 2 9
5-->8-->10-->5 (chiuso) quindi: 5 8 10
Il risultato dovrebbe essere: ( 1 3 6 2 9 )( 5 8 10 ).
A dire il vero, non sono molto convinto...
No, non va bene.
Riproviamoci:
$ (1, 3)(2, 9)(1, 3, 6, 2, 4, 7)(5, 8, 10) $
Parti da $1$, $(1, ...)$
Passi uno al ciclo più a destra, che è $(5, 8 , 10)$ che lo lascia invariato, quindi lo passi al ciclo affianco $(1, 3, 6, 2, 4, 7)$ che lo manda in $3$, quindi passi $3$ a $(2, 9)$ che lo lascia invariato e infine lo passi a $(1, 3)$ che manda $3$ in $1$, quindi $1$ va in $1$!
Rivediamo un attimo il percorso fatto:
$1\overset{(5810)} \rightarrow 1 \overset{(1 3 6 2 4 7)}\rightarrow 3 \overset{(2, 9)}\rightarrow 3 \overset{(1 3)}\rightarrow 1$
per cui il primo ciclo è: $(1)$
proviamo adesso con $5$:
$(5, ...)$
$5$ viene mandato in $8$ dal ciclo più a destra, che è $(5, 8, 10)$, poi $8$ viene lasciato fisso dagli altri $3$ cicli(perché?) per cui $(5, 8, ...)$ adesso: $8$ viene mandato in $10$ da $(5, 8, 10)$ e viene lasciato fisso dagli altri tre cicli(che fortuna!) per cui $(5, 8, 10, ...)$, il $10$ viene mandato in $5$ da $(5, 8, 10)$ e $5$ viene lasciato fisso dagli altri tre cicli e quindi posso concludere chiudendo il ciclo $(5, 8, 10)$
Adesso proviamo con $2$:
$(2, ...)$
$2$ viene lasciato fisso da $(5, 8, 10)$, adesso lo passo a $(1, 3, 6, 2, 4, 7)$ che lo manda in $4$, quindi passo il $4$ a $(2, 9)$ che lo lascia fisso, anche $(1, 3)$ lascia $4$ fisso per cui: $(2, 4, ...)$
Concludi tu! Ricordarti di partire dal ciclo più a destra e di seguire il percorso che le varie trasformazioni ti indicano.
Non credo di esserci. Comunque:
1-->1-->3-->3-->1 (1)
5-->8-->8-->8-->8 (5,8,...
8-->10->10->10->10 (5,8,10)
10-->5->5->5->5
2->2->4->4->4 (2,4,..
4->4->7->7->7 (2,4,7..
7->7->1->1->3 (2,4,7,3..
3->3->6->6->6 (2,4,7,3,6,..
6->6->2->9->9 (2,4,7,3,6,9..
9->9->9->2->2 (2,4,7,3,6,9)
Quindi: (5,8,10)(2,4,7,3,6,9) il ciclo (1) non l' ho messo perché è 1 su se stesso( ciclo banale?)
Grazie in anticipo
1-->1-->3-->3-->1 (1)
5-->8-->8-->8-->8 (5,8,...
8-->10->10->10->10 (5,8,10)
10-->5->5->5->5
2->2->4->4->4 (2,4,..
4->4->7->7->7 (2,4,7..
7->7->1->1->3 (2,4,7,3..
3->3->6->6->6 (2,4,7,3,6,..
6->6->2->9->9 (2,4,7,3,6,9..
9->9->9->2->2 (2,4,7,3,6,9)
Quindi: (5,8,10)(2,4,7,3,6,9) il ciclo (1) non l' ho messo perché è 1 su se stesso( ciclo banale?)
Grazie in anticipo
"Hornet345":
Non credo di esserci. Comunque:
1-->1-->3-->3-->1 (1)
5-->8-->8-->8-->8 (5,8,...
8-->10->10->10->10 (5,8,10)
10-->5->5->5->5
2->2->4->4->4 (2,4,..
4->4->7->7->7 (2,4,7..
7->7->1->1->3 (2,4,7,3..
3->3->6->6->6 (2,4,7,3,6,..
6->6->2->9->9 (2,4,7,3,6,9..
9->9->9->2->2 (2,4,7,3,6,9)
Quindi: (5,8,10)(2,4,7,3,6,9) il ciclo (1) non l' ho messo perché è 1 su se stesso( ciclo banale?)
Grazie in anticipo
Corretto! Cosa non ti torna?
nulla...devo prendere dimestichezza col metodo.Puoi consigliarmi dove prendere degli esercizi svolti?
Grazie 1000!
Grazie 1000!
Ciao!
I libri "Aritmetica e Algebra" e "Algebra: un approccio algoritmico" contengono un po' di esercizi sulla composizione di permutazioni, alcuni esercizi sono disponibili anche qui(il gruppo simmetrico è da pagina $72$ in poi), da dove ho preso un esercizio che hai risolto.
Inoltre ti consiglio di giocare un po' con $S_n$ per fare un po' di pratica.
Per esempio potresti iniziare a trovare un insieme di generatori per $S_n$, oppure studiare il gruppo diedrale come sottogruppo di $S_n$, oppure prendere due permutazioni a caso e vedere cosa ne viene.
Per esempio potresti scrivere $S_3$ e comporre un po' di permutazioni per fare pratica, potresti chiederti com'è fatto il sottogruppo diedrale di $S_3$, oppure il gruppo alterno.
"Hornet345":
nulla...devo prendere dimestichezza col metodo.Puoi consigliarmi dove prendere degli esercizi svolti?
Grazie 1000!
I libri "Aritmetica e Algebra" e "Algebra: un approccio algoritmico" contengono un po' di esercizi sulla composizione di permutazioni, alcuni esercizi sono disponibili anche qui(il gruppo simmetrico è da pagina $72$ in poi), da dove ho preso un esercizio che hai risolto.
Inoltre ti consiglio di giocare un po' con $S_n$ per fare un po' di pratica.
Per esempio potresti iniziare a trovare un insieme di generatori per $S_n$, oppure studiare il gruppo diedrale come sottogruppo di $S_n$, oppure prendere due permutazioni a caso e vedere cosa ne viene.
Per esempio potresti scrivere $S_3$ e comporre un po' di permutazioni per fare pratica, potresti chiederti com'è fatto il sottogruppo diedrale di $S_3$, oppure il gruppo alterno.
Grazie mille!
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