Decomposizione di funzioni razionali
Salve a tutti. Questa volta mi sono un po "inceppato" con un algoritmo che ha dato il prof di Analisi 2 per decomporre le funzioni razionali, di modo da averle come somma ed integrarle piu facilmente.
Il problema "vero" è che il prof ha dato due spiegazioni "diverse" (che vorrei chiarito fossero "equivalenti" per questo algoritmo, dato che in un esercizio portano risultati "diversi".
ora mi spiego meglio
Il prof ha distinto due casi:
1) fattori riducibili del tipo $(x-x0)^n$ , e questo è chiaro per me e non sto a scriverlo
2) fattori irriducibili del tipo $(x^2 + bx +c)^m$, e veniamo al nocciolo della questione:
alla lavagna ha detto che si scompongono mettendo $1/(x^2 + bx + c) + x/(x^2 + bx +c) + 1/(x^2 + bx + c)^2 + x/(x^2 + bx +c)^2... $fino ad arrivare al grado m del denominatore, e ci sono. Nelle dispense però scrive la decomposizione come $x/(x^2 + bx + c) + 1/(x^2 + bx +c) +x/(x^2 + bx + c)^2 + 1/(x^2 + bx +c)^2... $ fino ad arrivare al grado m. Sono sicuro di questo algoritmo, ma è _equivalente_ iniziare la serie con 1 o con x basta rispettare l'alternanza o bisogna iniziare con x poi 1 poi ancora x eccetera?
Perche ad esempio a me la decomposizione di
$(x^2 -2x +5)/((1+x^2)^2)$ risulterebbe $ (A +Bx)/(1+x^2) + (C+Dx)/((1+x^2)^2)$ mentre nell'esercizio svolto nelle dispense risulta $ (Ax +B)/(1+x^2) + (Cx+D)/((1+x^2)^2) $
Sono equivalenti come decomposizioni?
Spero di essere stato chiaro, grazie a tutti, sopratutto perche come al solito ho scritto un bel po
Il problema "vero" è che il prof ha dato due spiegazioni "diverse" (che vorrei chiarito fossero "equivalenti" per questo algoritmo, dato che in un esercizio portano risultati "diversi".
ora mi spiego meglioIl prof ha distinto due casi:
1) fattori riducibili del tipo $(x-x0)^n$ , e questo è chiaro per me e non sto a scriverlo
2) fattori irriducibili del tipo $(x^2 + bx +c)^m$, e veniamo al nocciolo della questione:
alla lavagna ha detto che si scompongono mettendo $1/(x^2 + bx + c) + x/(x^2 + bx +c) + 1/(x^2 + bx + c)^2 + x/(x^2 + bx +c)^2... $fino ad arrivare al grado m del denominatore, e ci sono. Nelle dispense però scrive la decomposizione come $x/(x^2 + bx + c) + 1/(x^2 + bx +c) +x/(x^2 + bx + c)^2 + 1/(x^2 + bx +c)^2... $ fino ad arrivare al grado m. Sono sicuro di questo algoritmo, ma è _equivalente_ iniziare la serie con 1 o con x basta rispettare l'alternanza o bisogna iniziare con x poi 1 poi ancora x eccetera?
Perche ad esempio a me la decomposizione di
$(x^2 -2x +5)/((1+x^2)^2)$ risulterebbe $ (A +Bx)/(1+x^2) + (C+Dx)/((1+x^2)^2)$ mentre nell'esercizio svolto nelle dispense risulta $ (Ax +B)/(1+x^2) + (Cx+D)/((1+x^2)^2) $
Sono equivalenti come decomposizioni?
Spero di essere stato chiaro, grazie a tutti, sopratutto perche come al solito ho scritto un bel po
Risposte
"superpunk733":
alla lavagna ha detto che si scompongono mettendo $1/(x^2 + bx + c) + x/(x^2 + bx +c) + 1/(x^2 + bx + c)^2 + x/(x^2 + bx +c)^2... $fino ad arrivare al grado m del denominatore, e ci sono. Nelle dispense però scrive la decomposizione come $x/(x^2 + bx + c) + 1/(x^2 + bx +c) +x/(x^2 + bx + c)^2 + 1/(x^2 + bx +c)^2... $ fino ad arrivare al grado m. Sono sicuro di questo algoritmo, ma è _equivalente_ iniziare la serie con 1 o con x basta rispettare l'alternanza o bisogna iniziare con x poi 1 poi ancora x eccetera?
la proprietà commutativa della somma
Perche ad esempio a me la decomposizione di
$(x^2 -2x +5)/((1+x^2)^2)$ risulterebbe $ (A +Bx)/(1+x^2) + (C+Dx)/((1+x^2)^2)$ mentre nell'esercizio svolto nelle dispense risulta $ (Ax +B)/(1+x^2) + (Cx+D)/((1+x^2)^2) $
Sono equivalenti come decomposizioni?
sì sono equivalenti, d'altronde puoi sempre rinominare in altro modo le costanti A B C e D
Grazie. Come l'altra volta sei stato chiarissimo. Perdonami questi dubbi stupidi, ma non avevo pensato alla proprietà commutativa... 
pensavo piuttosto che quest'algoritmo dovesse essere applicato "nel tale modo" senno avrebbe portato a risultati diversi
Ciao
pensavo piuttosto che quest'algoritmo dovesse essere applicato "nel tale modo" senno avrebbe portato a risultati diversi Ciao
figurati, di solito le cose nuove sono più semplici di quello che ci si aspetta.
alla prossima
alla prossima
Scusatemi lo "scrocco", ma non m'andava d'aprirne un altro..
Chiedo una conferma su questa decomposizione:$(1/t^2)*(1/(1+t^2))=(Ax+B)/t+(Cx+D)/(1+t^2)$. Funziona così?
Grazie
Chiedo una conferma su questa decomposizione:$(1/t^2)*(1/(1+t^2))=(Ax+B)/t+(Cx+D)/(1+t^2)$. Funziona così?
Grazie
"Chadwick":
Chiedo una conferma su questa decomposizione:$(1/t^2)*(1/(1+t^2))=(Ax+B)/t+ (Cx+D)/(1+t^2)$. Funziona così?
No. La scomposizione giusta è
$A/t + B/t^2 + (Ct+D)/(1+t^2)$
Ricordati che la $t$ al numeratore ci va solo in caso di una coppia di poli complessi coniugati. Per i poli semplici ci va una costante che altro non è il coefficiente corrispondente dello sviluppo di Laurent della funzione razionale fratta intorno al polo preso in considerazione.
Perfetto, ti ringrazio!
ragazzi....nn è piu facile trovare le costanti..A,B,C...ecc con il metodo dei residui?:D altro che sistemi:D
e com'è questo metodo??
"Chadwick":
e com'è questo metodo??
Richiede la conoscenza di alcune nozioni di analisi complessa per essere capito appieno.
ok, ci rinuncio..
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