Decomporre in prodotto diretto interno
Salve a tutti,
ho dei problemi con il seguente
ESERCIZIO
Sia $G=U_{72}$. Decomporre $G$ in prodotto diretto interno di sottogruppi ciclici.
ciclici.
Svolgimento.
Notiamo che $72=2^{3}\cdot3^{2}$ e quindi $\mathbb{Z}_{72}\cong\mathbb{Z}_{2^{3}} xx \mathbb{Z}_{3^{2}}$
da cui segue $U_{72}\cong U_{2^{3}} xx U_{3^{2}}$.
Ora $|U_{3^{2}}|=\varphi(3^{2})=3^{2}-3^{2-1}=9-3 =6$. Quindi, essendo $U_{9}$ abeliano, risulta $U_{9}\cong\mathbb{Z}_{6}$. In particolare, risulta che $U_{9}$ è ciclico. Da un analisi degli ordini degli elementi
di $U_{9}$ segue che $U_{9}=<[2]_{9}>$.
Consideriamo ora $U_{8}$. Ragionando come prima, otteniamo che $|U_{8}|=2^{3}-2^{2}=8-4=4$ e quindi, essendo $U_{8}$ abeliano, risulta $U_{8}$ isomorfo a $\mathbb{Z}_{4}$ oppure a $\mathbb{Z}_{2} xx \mathbb{Z}_{2}$. Esaminando gli ordini
di $U_{8}$, scopriamo che $U_{8}$ non ammette elementi di periodo $4$, e quindi $U_{8}\cong\mathbb{Z}_{2} xx \mathbb{Z}_{2}$. Inoltre da un esame degli ordini di $U_{8}$ ne ricaviamo che
$U_{8}=<[3]_{8}>\oplus<[5]_{8}>\cong<[3]_{8}> xx <[5]_{8}>$.
In definitiva $U_{72}\cong U_{8} xx U_{9}\cong <[3]_{8}> xx <[5]_{8}> xx <[2]_{9}>$.
Ora non riesco a capire come risalire ai sottogruppi di $U_{8}$...
ho dei problemi con il seguente
ESERCIZIO
Sia $G=U_{72}$. Decomporre $G$ in prodotto diretto interno di sottogruppi ciclici.
ciclici.
Svolgimento.
Notiamo che $72=2^{3}\cdot3^{2}$ e quindi $\mathbb{Z}_{72}\cong\mathbb{Z}_{2^{3}} xx \mathbb{Z}_{3^{2}}$
da cui segue $U_{72}\cong U_{2^{3}} xx U_{3^{2}}$.
Ora $|U_{3^{2}}|=\varphi(3^{2})=3^{2}-3^{2-1}=9-3 =6$. Quindi, essendo $U_{9}$ abeliano, risulta $U_{9}\cong\mathbb{Z}_{6}$. In particolare, risulta che $U_{9}$ è ciclico. Da un analisi degli ordini degli elementi
di $U_{9}$ segue che $U_{9}=<[2]_{9}>$.
Consideriamo ora $U_{8}$. Ragionando come prima, otteniamo che $|U_{8}|=2^{3}-2^{2}=8-4=4$ e quindi, essendo $U_{8}$ abeliano, risulta $U_{8}$ isomorfo a $\mathbb{Z}_{4}$ oppure a $\mathbb{Z}_{2} xx \mathbb{Z}_{2}$. Esaminando gli ordini
di $U_{8}$, scopriamo che $U_{8}$ non ammette elementi di periodo $4$, e quindi $U_{8}\cong\mathbb{Z}_{2} xx \mathbb{Z}_{2}$. Inoltre da un esame degli ordini di $U_{8}$ ne ricaviamo che
$U_{8}=<[3]_{8}>\oplus<[5]_{8}>\cong<[3]_{8}> xx <[5]_{8}>$.
In definitiva $U_{72}\cong U_{8} xx U_{9}\cong <[3]_{8}> xx <[5]_{8}> xx <[2]_{9}>$.
Ora non riesco a capire come risalire ai sottogruppi di $U_{8}$...
Risposte
"dark121it":Sarebbe meglio scrivere \(\mathbb{Z}_{72}=\mathbb{Z}_{2^3}\oplus\mathbb{Z}_{3^2}\)... ma il seguito non capisco come lo giustifichi!
...Notiamo che $72=2^{3}\cdot3^{2}$ e quindi $\mathbb{Z}_{72}\cong\mathbb{Z}_{2^{3}} xx \mathbb{Z}_{3^{2}}$
da cui segue $U_{72}\cong U_{2^{3}} xx U_{3^{2}}$...
Chiariamo che \(U_m\) è il gruppo degli interi modulo \(m\) invertibili rispetto al prodotto?
Sì. In realtà ho fatto un errore: avrei dovuto scrivere
$U_8 = <[3]_8> \odot <[5]_8>$
e non
$U_8 = <[3]_8> \oplus <[5]_8>$
Ovviamente $U_n$ è moltiplicativo!
Cos'altro non ti torna?
$U_8 = <[3]_8> \odot <[5]_8>$
e non
$U_8 = <[3]_8> \oplus <[5]_8>$
Ovviamente $U_n$ è moltiplicativo!
Cos'altro non ti torna?
Sembra che il solo fatto di scrivere su questo forum mi faccia venire nuove idee!
Ho risolto! Grazie lo stesso a tutti!
Ho risolto! Grazie lo stesso a tutti!
"dark121it":Prego, anche se ti ho risposto solo io.
...Grazie lo stesso a tutti!
In effetti... allora grazie a te! 
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