Dalle dispense del mio Prof. di Algebra
Dato un insieme $\mathcal{S}$, sia $\mathfrak{F}$ una parte di $\mathfrak{P} (\mathcal{S})$. Si noti che $\mathfrak{F}$ è un insieme i cui elementi sono degli insiemi. Supponiamo $\mathfrak{F}!=\emptyset$. Si definiscono l'unione e l'intersezione degli elementi appartenenti a $\mathfrak{F}$ ponendo rispettivamente
$\bigcup \mathfrak{F} := \{ x \in \mathcal{S} | \exists \mathcal{A} \in \mathfrak{F} \mbox{ tale che } x \in \mathcal{A}\}$; $\bigcap \mathfrak{F} := \{ x \in \mathcal{S} | x \in \mathcal{A}, \forall \mathcal{A} \in \mathfrak{F}\}.
Si usano anche i simboli $\bigcup_{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}} \mathcal{A}$ e $\bigcap_{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}} \mathcal{A}$. Se $\mathfrak{F}=\emptyset$ si pone $\bigcup\mathfrak{F}=\emptyset$ e $\bigcap\mathfrak{F}=\mathcal{S}$
Quello che vedete scritto è un "estratto" delle dispense del mip Prof. di Algebra.
Quello che non capisco è perchè si pone ciò che si pone quando $\mathfrak{F}=\emptyset$. Qualcuno può spiegarmi perché si arriva a questa posizione.
P.S. $\mathfrak{P}(\mathcal{S})$ è l'insieme delle parti di $\mathcal{S}$.
$\bigcup \mathfrak{F} := \{ x \in \mathcal{S} | \exists \mathcal{A} \in \mathfrak{F} \mbox{ tale che } x \in \mathcal{A}\}$; $\bigcap \mathfrak{F} := \{ x \in \mathcal{S} | x \in \mathcal{A}, \forall \mathcal{A} \in \mathfrak{F}\}.
Si usano anche i simboli $\bigcup_{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}} \mathcal{A}$ e $\bigcap_{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}} \mathcal{A}$. Se $\mathfrak{F}=\emptyset$ si pone $\bigcup\mathfrak{F}=\emptyset$ e $\bigcap\mathfrak{F}=\mathcal{S}$
Quello che vedete scritto è un "estratto" delle dispense del mip Prof. di Algebra.
Quello che non capisco è perchè si pone ciò che si pone quando $\mathfrak{F}=\emptyset$. Qualcuno può spiegarmi perché si arriva a questa posizione.
P.S. $\mathfrak{P}(\mathcal{S})$ è l'insieme delle parti di $\mathcal{S}$.
Risposte
Nessuno ha idee?
A me la cosa sembra curiosa anche perché se si pone $\bigcap \mathfrak{F} = S$ allora non è possibile che $\bigcup \mathfrak{F} = \emptyset$ e viceversa...o no?
A me la cosa sembra curiosa anche perché se si pone $\bigcap \mathfrak{F} = S$ allora non è possibile che $\bigcup \mathfrak{F} = \emptyset$ e viceversa...o no?
Perché dev'essere, se $F$, $G$ sono parti di $P(S)$, con $F cap G = emptyset$, allora dev'essere $cup_(A in F) A cup cup_(B in G) B = cup_(C in F cup G) C$ e analogamente $cap_(A in F) A cap cap_(B in G) B = cap_(C in F cup G) C$ .
Se è $G = emptyset$ allora essa è disgiunta da qualsiasi parte $F$, perciò deve essere $cap_(A in F) A cap cap_(B in G) B = cap_(A in F) A cap cap_(B in emptyset) B = cap_(C in F cup G) C = cap_(C in F) C$ allora confrontando $cap_(A in F) A cap cap_(B in emptyset) B = cap_(C in F) C$ e questo accade se e solo se $cap_(B in emptyset) B = emptyset$.
Analogamente ragionando per l'intersezione si ottiene $cup_(A in F) A cup cup_(B in emptyset) B = cup_(C in F) C$ e questo avviene se e solo se $cup_(B in emptyset) B$ è l'elemento neutro per l'intersezione, ossia l'insieme universo $S$.
Spero sia tutto chiaro!
Se è $G = emptyset$ allora essa è disgiunta da qualsiasi parte $F$, perciò deve essere $cap_(A in F) A cap cap_(B in G) B = cap_(A in F) A cap cap_(B in emptyset) B = cap_(C in F cup G) C = cap_(C in F) C$ allora confrontando $cap_(A in F) A cap cap_(B in emptyset) B = cap_(C in F) C$ e questo accade se e solo se $cap_(B in emptyset) B = emptyset$.
Analogamente ragionando per l'intersezione si ottiene $cup_(A in F) A cup cup_(B in emptyset) B = cup_(C in F) C$ e questo avviene se e solo se $cup_(B in emptyset) B$ è l'elemento neutro per l'intersezione, ossia l'insieme universo $S$.
Spero sia tutto chiaro!
Caro zorn, non mi dire niente, ma non ho capito nulla, soprattutto non ho capito l'operatore indicato con il doppio simbolo di unione ($\cup \cup$).
Poi non ho capito questo: se $\bigcap \mathfrak{F} = \mathcal{S}$ allora quanto meno in $\mathfrak{F}$ c'è $\mathcal{S}$ e questo comporta che $\bigcup \mathfrak{F} != \emptyset$....ok: non sto capendo na mazza
Poi non ho capito questo: se $\bigcap \mathfrak{F} = \mathcal{S}$ allora quanto meno in $\mathfrak{F}$ c'è $\mathcal{S}$ e questo comporta che $\bigcup \mathfrak{F} != \emptyset$....ok: non sto capendo na mazza
Ciao Wizard,
a mio avviso non dovresti torturarti troppo per quelle due posizioni. Ti diro' una frase che disse il nostro primo prof di matematica all'università, la sua prima frase (se togliamo i convenevoli): "la teoria degli insiemi è fortemente contro-intuitiva"! Sono d'accordissimo.
Quindi secondo me non bisogna pensare troppo di sapere di cosa si sta parlando ( ).
Prova a vederla cosi': quando intersechi un insieme con un altro lo stai "rimpicciolendo", cioè quello che ottieni è un sottoinsieme; quando unisci un insieme ad un altro lo stai "ingrandendo", cioè quello che ottieni è un sovrainsieme. Ne "segue" che "se non rimpicciolisci niente resti al massimo" (nel tuo caso S), e "se non ingrandisci niente resti al minimo" (insieme vuoto).
a mio avviso non dovresti torturarti troppo per quelle due posizioni. Ti diro' una frase che disse il nostro primo prof di matematica all'università, la sua prima frase (se togliamo i convenevoli): "la teoria degli insiemi è fortemente contro-intuitiva"! Sono d'accordissimo.
Quindi secondo me non bisogna pensare troppo di sapere di cosa si sta parlando (
).Prova a vederla cosi': quando intersechi un insieme con un altro lo stai "rimpicciolendo", cioè quello che ottieni è un sottoinsieme; quando unisci un insieme ad un altro lo stai "ingrandendo", cioè quello che ottieni è un sovrainsieme. Ne "segue" che "se non rimpicciolisci niente resti al massimo" (nel tuo caso S), e "se non ingrandisci niente resti al minimo" (insieme vuoto).
Ok, provo a spiegartelo un po' meglio. Comincio dall'intersezione così non ci confondiamo troppo.
Poiché, per parti disgiunte $F,G$ deve risultare che l'intersezione fatta sull'unione delle due parti $F cap G$ deve essere l'intersezione di $F$ intersecato l'intersezione di $G$. Da qui segue che l'intersezione per $emptyset$ dev'essere l'elemento neutro rispetto l'intersezione, ossia $S$.
Ora provo a chiarirlo più in generale. Sia $(T,*,1)$ un monoide abeliano, tale è nel caso nostro $(P(S), cap, S)$, oppure $(P(S), cup, emptyset)$.
Supponiamo di definire per ogni parte $X$ di $T$ l'operatore $prod_(y in X)y$. (In generale lo si può sempre fare per parti finite, ponendo $prod_(y in {a_1,...,a_k})y = a_1*...*a_k$ ben posta per la commutatività e l'associatività, ma non si può dire per parti infinite, qui suppongo di poterlo sempre definire).
Tale operatore soddisfa inoltre agli assiomi:
1) $X,Z in P(T), X cap Z = emptyset => prod_(y in X cup Z)y = prod_(t in X)t * prod_(w in Z)w$
ossia "moltiplicare" sull'unione di due parti disgiunte è lo stesso che fare la "moltiplicazione" del prodotto su ciascuna parte. Ciò è del tutto ragionevole se ci pensi.
2) $AA a in T, prod_(b in {a})b=a$
ossia l'operazione effettuata sul singleton di a restituisce a. Anche questo è ragionevole (pensa alle sommatorie, se le facciamo su un solo elemento...)
Ma allora, calcoliamo $prod_(y in emptyset)y$. Sicuramente ogni parte $X$ è disgiunta da $emptyset$, allora valendo la condizione dell'assioma 1:
$prod_(y in X cup emptyset)y = prod_(t in X)t * prod_(w in emptyset)w$, d'altra parte $prod_(y in X cup emptyset)y =prod_(y in X)y$ da cui
$prod_(y in X)y=prod_(t in X)t * prod_(w in emptyset)w$
Analogamente ragionando su $prod_(y in emptyset cup X)y$ ottengo
$prod_(y in X)y= prod_(w in emptyset)w *prod_(t in X)t $
da cui ottengo che $prod_(w in emptyset)w$ è elemento neutro (a sx e dx) per gli elementi $prod_(t in X)t, X in P(T)$. Ma tali elementi, per l'assioma 2), descrivono ogni elemento del sostegno $T$ del monoide $(T,*,1)$, infatti se $a in T$ basta scegliere $X={a}$.
Segue quindi che $prod_(w in emptyset)w$ è l'elemento neutro del monoide $(T,*,1)$, ovvero $prod_(w in emptyset)w=1$
#
Poiché, per parti disgiunte $F,G$ deve risultare che l'intersezione fatta sull'unione delle due parti $F cap G$ deve essere l'intersezione di $F$ intersecato l'intersezione di $G$. Da qui segue che l'intersezione per $emptyset$ dev'essere l'elemento neutro rispetto l'intersezione, ossia $S$.
Ora provo a chiarirlo più in generale. Sia $(T,*,1)$ un monoide abeliano, tale è nel caso nostro $(P(S), cap, S)$, oppure $(P(S), cup, emptyset)$.
Supponiamo di definire per ogni parte $X$ di $T$ l'operatore $prod_(y in X)y$. (In generale lo si può sempre fare per parti finite, ponendo $prod_(y in {a_1,...,a_k})y = a_1*...*a_k$ ben posta per la commutatività e l'associatività, ma non si può dire per parti infinite, qui suppongo di poterlo sempre definire).
Tale operatore soddisfa inoltre agli assiomi:
1) $X,Z in P(T), X cap Z = emptyset => prod_(y in X cup Z)y = prod_(t in X)t * prod_(w in Z)w$
ossia "moltiplicare" sull'unione di due parti disgiunte è lo stesso che fare la "moltiplicazione" del prodotto su ciascuna parte. Ciò è del tutto ragionevole se ci pensi.
2) $AA a in T, prod_(b in {a})b=a$
ossia l'operazione effettuata sul singleton di a restituisce a. Anche questo è ragionevole (pensa alle sommatorie, se le facciamo su un solo elemento...)
Ma allora, calcoliamo $prod_(y in emptyset)y$. Sicuramente ogni parte $X$ è disgiunta da $emptyset$, allora valendo la condizione dell'assioma 1:
$prod_(y in X cup emptyset)y = prod_(t in X)t * prod_(w in emptyset)w$, d'altra parte $prod_(y in X cup emptyset)y =prod_(y in X)y$ da cui
$prod_(y in X)y=prod_(t in X)t * prod_(w in emptyset)w$
Analogamente ragionando su $prod_(y in emptyset cup X)y$ ottengo
$prod_(y in X)y= prod_(w in emptyset)w *prod_(t in X)t $
da cui ottengo che $prod_(w in emptyset)w$ è elemento neutro (a sx e dx) per gli elementi $prod_(t in X)t, X in P(T)$. Ma tali elementi, per l'assioma 2), descrivono ogni elemento del sostegno $T$ del monoide $(T,*,1)$, infatti se $a in T$ basta scegliere $X={a}$.
Segue quindi che $prod_(w in emptyset)w$ è l'elemento neutro del monoide $(T,*,1)$, ovvero $prod_(w in emptyset)w=1$
#
1) Ringrazio Martino per il tentaivo di rincuorarmi e per la sua spiegazione intuitiva
2) Ringrazio zorn per la grande disponibilità e per la spiegazione formale molto interessante ma che io non sono in grado di comprendere del tutto (diciamo che l'ho capita al 30%): penso che dovrò "crescere" ancora un bel pò per poterla capire (e mi scuso se ti ho fatto faticare per poi non aver capito molto). Prometto di tornarci sopra appena ne sarò capace.
3) "Lugubrando" nel pomeriggio, quando ancora non avevo letto i vostri post, avevo pensato sta cosa. Usando un poco di simbologia presa in prestito dalla logica, poniamo $\bigcup _{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}}\mathcal{A} := {x \in \mathcal{S}: (\exists X : X \in \mathfrak{F} ^^ x \in X) }$ e $\bigcap_{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}}\mathcal{A} := {x \in \mathcal{S}: (\forall X : X \in \mathfrak{F} => x \in X)}$ ove $\mathcal{S}$ è il nostro insieme iniziale, $\mathfrak{P}(\mathcal{S})$ è l'insieme delle parti di $\mathcal{S}$ e $\mathfrak{F}$ è una parte di $\mathfrak{P}(\mathcal{S})$; ora, se $\mathfrak{F}=\emptyset$ allora la proprietà $\exists X : X \in \mathfrak{F} ^^ x \in X$ è falsa perché già falsa la proposizione $X \in \mathfrak{F}$ dal momento che si è supposto $\mathfrak{F}=\emptyset$, quindi qualunque $x \in \mathcal{S}$ si sceglie la proposizione resta falsa e poichè un insieme definito tramite proprietà "raccoglie" gli elementi che quella proprietà la verificano, allora $\bigcup_{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}}\mathcal{A}=\emptyset$. Analogamente, se $\mathfrak{F}=\emptyset$ allora la proposizione $\forall X : X \in \mathfrak{F} => x \in X$ è sempre vera, essendo falsa la proposizione che fa da antecedente, cioè $X \in \mathfrak{F}$, dal momento che si è convenuto che $\mathfrak{F}=\emptyset$: in questo caso ogni $x \in S$ verifica la proprietà e anche $\mathcal{S}$, per cui si può convenire che $\bigcap_{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}}\mathcal{A}=\mathcal{S}$.
Domanda: cosa ne pensate? Quante ca**ate ho detto?
4) Una piccola considerazione a margine: nella teoria assiomatica degli insiemi l'ipotesi che $\mathfrak{F} != \emptyset$ è indispensabile: infatti se non ci fosse questa ipotesi allora non ci sarebbero problemi sull'unione (si tornerebbe nella stessa condizione di prima), ma sorgerebbero problemi con l'intersezione. Poiché va bene qualunque $x$ per verificare la proprietà che determina l'insieme intersezione, allora l'insieme intersezione coinciderebbe con l'insieme degli insiemi, il che non è possibile, causa il paradosso di Russel (mi pare). A questo punto mi domando se per aggirare il problema sia sufficiente porre la condizione che gli elementi $x$ vadano presi in un insieme $\mathcal{S}$ già costruito (e con questa condizione la posizione $\mathfrak{F}!= \emptyset$ diviene non necessaria) o se, anche ponendo che le $x$ vadano prese in un insieme $\mathcal{S}$ già costruito, l'ipotesi $\mathfrak{F}$ resta comunque indispensabile. Io penso che porre che le $x$ vadno prese da un insieme $\mathcal{S}$ già costruito risolva la questione e renda non indispensabile l'ipotesi che $\mathfrak{F}!=\emptyset$: voi che dite? Ma soprattutto: quante sciocchezze ho detto?
2) Ringrazio zorn per la grande disponibilità e per la spiegazione formale molto interessante ma che io non sono in grado di comprendere del tutto (diciamo che l'ho capita al 30%): penso che dovrò "crescere" ancora un bel pò per poterla capire (e mi scuso se ti ho fatto faticare per poi non aver capito molto). Prometto di tornarci sopra appena ne sarò capace.
3) "Lugubrando" nel pomeriggio, quando ancora non avevo letto i vostri post, avevo pensato sta cosa. Usando un poco di simbologia presa in prestito dalla logica, poniamo $\bigcup _{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}}\mathcal{A} := {x \in \mathcal{S}: (\exists X : X \in \mathfrak{F} ^^ x \in X) }$ e $\bigcap_{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}}\mathcal{A} := {x \in \mathcal{S}: (\forall X : X \in \mathfrak{F} => x \in X)}$ ove $\mathcal{S}$ è il nostro insieme iniziale, $\mathfrak{P}(\mathcal{S})$ è l'insieme delle parti di $\mathcal{S}$ e $\mathfrak{F}$ è una parte di $\mathfrak{P}(\mathcal{S})$; ora, se $\mathfrak{F}=\emptyset$ allora la proprietà $\exists X : X \in \mathfrak{F} ^^ x \in X$ è falsa perché già falsa la proposizione $X \in \mathfrak{F}$ dal momento che si è supposto $\mathfrak{F}=\emptyset$, quindi qualunque $x \in \mathcal{S}$ si sceglie la proposizione resta falsa e poichè un insieme definito tramite proprietà "raccoglie" gli elementi che quella proprietà la verificano, allora $\bigcup_{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}}\mathcal{A}=\emptyset$. Analogamente, se $\mathfrak{F}=\emptyset$ allora la proposizione $\forall X : X \in \mathfrak{F} => x \in X$ è sempre vera, essendo falsa la proposizione che fa da antecedente, cioè $X \in \mathfrak{F}$, dal momento che si è convenuto che $\mathfrak{F}=\emptyset$: in questo caso ogni $x \in S$ verifica la proprietà e anche $\mathcal{S}$, per cui si può convenire che $\bigcap_{\mathcal{A} \in \mathfrak{F}}\mathcal{A}=\mathcal{S}$.
Domanda: cosa ne pensate? Quante ca**ate ho detto?
4) Una piccola considerazione a margine: nella teoria assiomatica degli insiemi l'ipotesi che $\mathfrak{F} != \emptyset$ è indispensabile: infatti se non ci fosse questa ipotesi allora non ci sarebbero problemi sull'unione (si tornerebbe nella stessa condizione di prima), ma sorgerebbero problemi con l'intersezione. Poiché va bene qualunque $x$ per verificare la proprietà che determina l'insieme intersezione, allora l'insieme intersezione coinciderebbe con l'insieme degli insiemi, il che non è possibile, causa il paradosso di Russel (mi pare). A questo punto mi domando se per aggirare il problema sia sufficiente porre la condizione che gli elementi $x$ vadano presi in un insieme $\mathcal{S}$ già costruito (e con questa condizione la posizione $\mathfrak{F}!= \emptyset$ diviene non necessaria) o se, anche ponendo che le $x$ vadano prese in un insieme $\mathcal{S}$ già costruito, l'ipotesi $\mathfrak{F}$ resta comunque indispensabile. Io penso che porre che le $x$ vadno prese da un insieme $\mathcal{S}$ già costruito risolva la questione e renda non indispensabile l'ipotesi che $\mathfrak{F}!=\emptyset$: voi che dite? Ma soprattutto: quante sciocchezze ho detto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo