Curiosità sulle definizioni su sottoinsiemi.
Ciao,
ho una domanda che nasce puramente da un fatto che trovo curioso: in alcune definizioni, si usa un sottoinsieme di un altro per gli scopi della definizione, ma non si fa alcun riferimento all'insieme padre... E mi chiedevo a che scopo una cosa simile.
Ad esempio, stavo leggendo la definizione di elemento massimale e minimale su un libro (ma anche su en.wikipedia fanno così):
sia $P$ un poset e $Q \subseteq P$. Allora $a\in Q$ è un elemento massimale di $Q$ se $a\leq x$ e $x\in Q$ implica $a=x$.
Ora, Q è un sottoinsieme di P che può coincidere con P, poi si parla di a e x come elementi di Q... Quindi a che scopo viene messo P nella definizione? Non si fa prima a definire gli elementi massimali direttamente su P? O questo stravolge il significato delle cose?
Non è la prima volta che vedo applicare questo "pattern" nelle definizioni (non saprei dirvi dove l'ho visto altrove), ma non ho mai capito perché :S
Grazie in anticipo a chiunque mi illumini
~Aki
ho una domanda che nasce puramente da un fatto che trovo curioso: in alcune definizioni, si usa un sottoinsieme di un altro per gli scopi della definizione, ma non si fa alcun riferimento all'insieme padre... E mi chiedevo a che scopo una cosa simile.
Ad esempio, stavo leggendo la definizione di elemento massimale e minimale su un libro (ma anche su en.wikipedia fanno così):
sia $P$ un poset e $Q \subseteq P$. Allora $a\in Q$ è un elemento massimale di $Q$ se $a\leq x$ e $x\in Q$ implica $a=x$.
Ora, Q è un sottoinsieme di P che può coincidere con P, poi si parla di a e x come elementi di Q... Quindi a che scopo viene messo P nella definizione? Non si fa prima a definire gli elementi massimali direttamente su P? O questo stravolge il significato delle cose?
Non è la prima volta che vedo applicare questo "pattern" nelle definizioni (non saprei dirvi dove l'ho visto altrove), ma non ho mai capito perché :S
Grazie in anticipo a chiunque mi illumini
~Aki
Risposte
Ciao,
secondo me manca un $AA$
te stai parlando di elemento massimo in $Q$ o elemento massimale in $Q$?
perchè le tua è di elemento massimo (dove manca $AA$), quella di massimale è:
Sia $P$ un poset, e \(Q \subseteq P\). Allora
$a in Q$ è massimale in $Q$ se $AA x in Q\ ,\ a$\(\not\prec x\)
Comunque per tornare alla tua domanda, prova a vedere la definizione di well-founded o buon-ordinamento. Come sono costruite, cioè su cosa si basano?
"akiross":
sia $P$ un poset e $Q \subseteq P$. Allora $a\in Q$ è un elemento massimale di $Q$ se $a\leq x$ e $x\in Q$ implica $a=x$.
secondo me manca un $AA$
te stai parlando di elemento massimo in $Q$ o elemento massimale in $Q$?
perchè le tua è di elemento massimo (dove manca $AA$), quella di massimale è:
Sia $P$ un poset, e \(Q \subseteq P\). Allora
$a in Q$ è massimale in $Q$ se $AA x in Q\ ,\ a$\(\not\prec x\)
Comunque per tornare alla tua domanda, prova a vedere la definizione di well-founded o buon-ordinamento. Come sono costruite, cioè su cosa si basano?
Salve akiross,
intanto penso che $Q in P(P) ^^ Q!=O$, oltre alle osservazioni di hamming_burst, in molti testi di teoria assiomatica degli insiemi non è obbligatorio, dato un insieme $Q$, prendere un sovrainsieme di questo, in tal caso $P$, se e soltanto se non entra in gioco un predicato $P(x)$ relativo agli $x in Q$, in caso contrario è obbligatorio nonché assiomatico per non incorrere in contraddizioni.
Cordiali saluti
"akiross":
Ciao,
ho una domanda che nasce puramente da un fatto che trovo curioso: in alcune definizioni, si usa un sottoinsieme di un altro per gli scopi della definizione, ma non si fa alcun riferimento all'insieme padre... E mi chiedevo a che scopo una cosa simile.
Ad esempio, stavo leggendo la definizione di elemento massimale e minimale su un libro (ma anche su en.wikipedia fanno così):
sia $P$ un poset e $Q \subseteq P$. Allora $a\in Q$ è un elemento massimale di $Q$ se $a\leq x$ e $x\in Q$ implica $a=x$.
Ora, Q è un sottoinsieme di P che può coincidere con P, poi si parla di a e x come elementi di Q... Quindi a che scopo viene messo P nella definizione? Non si fa prima a definire gli elementi massimali direttamente su P? O questo stravolge il significato delle cose?
Non è la prima volta che vedo applicare questo "pattern" nelle definizioni (non saprei dirvi dove l'ho visto altrove), ma non ho mai capito perché :S
Grazie in anticipo a chiunque mi illumini
~Aki
intanto penso che $Q in P(P) ^^ Q!=O$, oltre alle osservazioni di hamming_burst, in molti testi di teoria assiomatica degli insiemi non è obbligatorio, dato un insieme $Q$, prendere un sovrainsieme di questo, in tal caso $P$, se e soltanto se non entra in gioco un predicato $P(x)$ relativo agli $x in Q$, in caso contrario è obbligatorio nonché assiomatico per non incorrere in contraddizioni.
Cordiali saluti
Ringrazio immediatamente entrambi per le risposte relative alla mia domanda, credo di aver capito
Per quanto riguarda la definizione
secondo me manca un $AA$
te stai parlando di elemento massimo in $Q$ o elemento massimale in $Q$?
[/quote]
Io credo di parlare di massimale, ma lo sto traducendo dall'inglese e magari (come capita a volte) la convenzione non è la stessa... In realtà il libro a cui faccio riferimento non mette il per-ogni, e la definizione è proprio questa:
Let $P$ be an ordered set and let $Q\subseteq P$. Then $a\in Q$ is a maximal element of $Q$ if $a\leq x$ and $x\in Q$ imply $a= x$. We denote the set of maximal elements of $Q$ by Max $Q$.
A me sembra che questa sia una definizione corretta per i massimali, perché, se ho capito bene, un elemento massimo (che, traducendo dall'inglese, mi pare sia greatest o maximum) dovrebbe essere confrontabile con ogni altro elemento, mentre un massimale no. Infatti questa definizione la interpreto come: un elemento $a$ lo chiamiamo elemento massimale se $\forall x\in Q$ abbiamo $a\leq x$ abbiamo che $a$ e $x$ sono uguali. Questo vuol dire che se la condizione sull'ordine non é verificata (ad esempio se due elementi non sono confrontabili) allora l'uguaglianza non deve sussistere.
Quindi a me sembra che questa formulazione (che sì, manca di un per ogni, ma che secondo me è chiaro dal contesto e noto che gli autori del libro lo evitano spesso in casi come questi) sia equivalente alla tua.
Sempre questo libro (Introduction to Lattices and Orders) definisce maximum e minimum come il top-element (o bottom) dell'insieme Q nel caso in cui Max$Q = {\top_Q}$. Chiaramente il top e il bottom possono non esistere.
Comunque grazie per le risposte
Per quanto riguarda la definizione
"hamming_burst":
Ciao,
[quote="akiross"]
sia $P$ un poset e $Q \subseteq P$. Allora $a\in Q$ è un elemento massimale di $Q$ se $a\leq x$ e $x\in Q$ implica $a=x$.
secondo me manca un $AA$
te stai parlando di elemento massimo in $Q$ o elemento massimale in $Q$?
[/quote]
Io credo di parlare di massimale, ma lo sto traducendo dall'inglese e magari (come capita a volte) la convenzione non è la stessa... In realtà il libro a cui faccio riferimento non mette il per-ogni, e la definizione è proprio questa:
Let $P$ be an ordered set and let $Q\subseteq P$. Then $a\in Q$ is a maximal element of $Q$ if $a\leq x$ and $x\in Q$ imply $a= x$. We denote the set of maximal elements of $Q$ by Max $Q$.
A me sembra che questa sia una definizione corretta per i massimali, perché, se ho capito bene, un elemento massimo (che, traducendo dall'inglese, mi pare sia greatest o maximum) dovrebbe essere confrontabile con ogni altro elemento, mentre un massimale no. Infatti questa definizione la interpreto come: un elemento $a$ lo chiamiamo elemento massimale se $\forall x\in Q$ abbiamo $a\leq x$ abbiamo che $a$ e $x$ sono uguali. Questo vuol dire che se la condizione sull'ordine non é verificata (ad esempio se due elementi non sono confrontabili) allora l'uguaglianza non deve sussistere.
Quindi a me sembra che questa formulazione (che sì, manca di un per ogni, ma che secondo me è chiaro dal contesto e noto che gli autori del libro lo evitano spesso in casi come questi) sia equivalente alla tua.
Sempre questo libro (Introduction to Lattices and Orders) definisce maximum e minimum come il top-element (o bottom) dell'insieme Q nel caso in cui Max$Q = {\top_Q}$. Chiaramente il top e il bottom possono non esistere.
Comunque grazie per le risposte
ok, interessante.
Vedendo altri libri i nomi dati sono o tradotti dall'inglese come hai fatto te, o hanno una notazione e nome diverso, perciò non sempre "elemento massimale" tradotto corrisponda ad "elemento massimale" utilizzato in lingua italiana direttamente.
Potresti definirmi: $\top_Q$? non è l'upper bound?
Vedendo altri libri i nomi dati sono o tradotti dall'inglese come hai fatto te, o hanno una notazione e nome diverso, perciò non sempre "elemento massimale" tradotto corrisponda ad "elemento massimale" utilizzato in lingua italiana direttamente.
Potresti definirmi: $\top_Q$? non è l'upper bound?
No, l'upper bound qui lo cita quando introduce i reticoli (lattices) come:
Let P be an ordered set and let $S \subseteq P$. An element $x \in P$ is an upper bound of $S$ if $s\leq x$ for all $s\in S$.
Dualmente un lower bound.
$\top_Q$ è il top element (massimo) dell'insieme Q ovvero l'elemento che fa parte dei massimali, che è unico e che è confrontabile con tutti gli altri elementi:
Let P be an ordered set. We say P has a bottom element if there exists $\bot \in P$ (called bottom) with the property that $\bot \leq x$ for all $x \in P$.
Il top $\top$ è definito dualmente.
Come dicevo prima, quando introduce i massimali e minimali definisce il greatest (maximum) come l'unico elemento nell'insieme dei massimali: Max $Q={\top_Q}$.
Comunque confermo mediante un altro libro (Algebra e Matematica Discreta, Facchini) che le mie traduzioni in italiano son corrette e le definizioni sono le stesse che danno Davey e Priestley in Introduction to Lattices and Orders - anche se la convenzione top e bottom non sembra essere usata:
$a$ è il massimo di $A$ se $a \geq x$ per ogni $x \in A$
$a$ è un elemento massimale di $A$ se per ogni $x \in A$ si ha che $a\leq x$ implica $x=a$.
Ciauz
EDIT: spero di non aver fatto casino coi duali e con la direzione degli ordini
sono saltato un po' tra una definizione e l'altra e spero di non aver invertito niente.
Let P be an ordered set and let $S \subseteq P$. An element $x \in P$ is an upper bound of $S$ if $s\leq x$ for all $s\in S$.
Dualmente un lower bound.
$\top_Q$ è il top element (massimo) dell'insieme Q ovvero l'elemento che fa parte dei massimali, che è unico e che è confrontabile con tutti gli altri elementi:
Let P be an ordered set. We say P has a bottom element if there exists $\bot \in P$ (called bottom) with the property that $\bot \leq x$ for all $x \in P$.
Il top $\top$ è definito dualmente.
Come dicevo prima, quando introduce i massimali e minimali definisce il greatest (maximum) come l'unico elemento nell'insieme dei massimali: Max $Q={\top_Q}$.
Comunque confermo mediante un altro libro (Algebra e Matematica Discreta, Facchini) che le mie traduzioni in italiano son corrette e le definizioni sono le stesse che danno Davey e Priestley in Introduction to Lattices and Orders - anche se la convenzione top e bottom non sembra essere usata:
$a$ è il massimo di $A$ se $a \geq x$ per ogni $x \in A$
$a$ è un elemento massimale di $A$ se per ogni $x \in A$ si ha che $a\leq x$ implica $x=a$.
Ciauz
EDIT: spero di non aver fatto casino coi duali e con la direzione degli ordini
sono saltato un po' tra una definizione e l'altra e spero di non aver invertito niente.
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