Curiosità
Se ho un teorema da dimostrare e riesco a trovare una dimostrazione in cui non viene usata una delle ipotesi, posso affermare che la tesi del teorema in questione mi è data dalle ipotesi che già avevo meno quella che non ho usato?
Per rendervi l'idea: mettiano che ho da dimostrare il teorema "Se $p_1, p_2, p_3$ allora $t$". E mettiamo che esiste una dimostrazione che usa $p_1$ e $p_2$ e una serie di altri teoremi o assiomi che non implicano che sia vera $p_3$, posso dire che il teorema "Se $p_1, p_2$ allora $t$" è vero?
E se $p_1, p_2$ e questa serie di altri teoremi e assiomi implica la verità di $p_3$, posso ancora dire che "Se $p_1, p_2$ allora $t$" è un teorema buono?
In buona sostanza: se dimostro il teorema $p_1, p_2, p_3 => t$ senza usare $p_3$ per provare la verità di $t$ posso semplificare il teorema in $p_1, p_2 => t$? anche se $p_3$ è una conseguenza di $p_1, p_2$, cioè se è vero il teorema $p_1,p_2 => p_3$?
P.S.
Perdonate la lunghezza eccessiva del mio post, ma non è una cosa che sto studiando, è solo una curiosità, quindi ho ritenuto opportuno spiegare bene quello che avevo in testa non sapendo come formalizzarlo.
Per rendervi l'idea: mettiano che ho da dimostrare il teorema "Se $p_1, p_2, p_3$ allora $t$". E mettiamo che esiste una dimostrazione che usa $p_1$ e $p_2$ e una serie di altri teoremi o assiomi che non implicano che sia vera $p_3$, posso dire che il teorema "Se $p_1, p_2$ allora $t$" è vero?
E se $p_1, p_2$ e questa serie di altri teoremi e assiomi implica la verità di $p_3$, posso ancora dire che "Se $p_1, p_2$ allora $t$" è un teorema buono?
In buona sostanza: se dimostro il teorema $p_1, p_2, p_3 => t$ senza usare $p_3$ per provare la verità di $t$ posso semplificare il teorema in $p_1, p_2 => t$? anche se $p_3$ è una conseguenza di $p_1, p_2$, cioè se è vero il teorema $p_1,p_2 => p_3$?
P.S.
Perdonate la lunghezza eccessiva del mio post, ma non è una cosa che sto studiando, è solo una curiosità, quindi ho ritenuto opportuno spiegare bene quello che avevo in testa non sapendo come formalizzarlo.
Risposte
penso proprio di si..e al teorema ci aggiungi un conseguente corollario dove includi $p_3$....
Se $a$ e $b$ sono due numeri reali positivi, e se il nick di chi parla è Tipper, allora $a+b \ge 0$.
"Tipper":
Se $a$ e $b$ sono due numeri reali positivi, e se il nick di chi parla è Tipper, allora $a+b \ge 0$.
Corollario: Tipper è un corollario.
Capito.
Grazie a tutti.
Grazie a tutti.
Però a volte (per chiarezza) si preferisce mettere nelle ipotesi $p_3$ anche se effettivamente è superfluo, visto che discende immediatamente da $p_1,p_2$.. ad esempio nelle ipotesi del teorema di Lagrange: la funzione è supposta continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$..
non credo proprio, conoscendolo
possiamo immaginare di avere 3 ipotesi.
f è continua in ]a,b[
f è continua in a e in b
f è derivabile in ]a,b[
detto così, la prima è conseguenza della terza
possiamo immaginare di avere 3 ipotesi.
f è continua in ]a,b[
f è continua in a e in b
f è derivabile in ]a,b[
detto così, la prima è conseguenza della terza
Se si supponesse (nel teorema di Lagrange) che la funzione sia derivabile in $]a;b[$ questo implicherebbe direttamente la continuità della funzione stessa in $]a;b[$: giusto? Ma non porterebbe alla continuità negli estremi dell'intervallo: se la funzione non fosse ivi continua sarebbe ancora valido il teorema?
"WiZaRd":
Se si supponesse (nel teorema di Lagrange) che la funzione sia derivabile in $]a;b[$ questo implicherebbe direttamente la continuità della funzione stessa in $]a;b[$: giusto?
giusto (non mi è molto chiaro perché usi il modo congiuntivo del verbo "supporre", visto che nel teorema di Lagrange si suppone)
"WiZaRd":
Ma non porterebbe alla continuità negli estremi dell'intervallo: se la funzione non fosse ivi continua sarebbe ancora valido il teorema?
ovviamente no.
Fai un controesempio, subito!
Ho usato il congiuntivo perché volevo scrivere Se si supponesse (nel teorema di Lagrange) che la funzione sia derivabile in $]a;b[$ senza chiederne la continuità in $a$ e\o in $b$...., ma, come mio solito, scrivo, vado in anteprima, correggo, tolgo quello che non voglio togliere e poi non mi accorgo dei casini che faccio: chiedo scusa 
Come controesempio...dici che va bene $f(x)=\frac{1}{x}$ su $[0;1]$?
Come controesempio...dici che va bene $f(x)=\frac{1}{x}$ su $[0;1]$?
"WiZaRd":No, e come penitenza di Natale ci fai un controesempio buono e ci spieghi perché questo non è buono
Come controesempio...dici che va bene $f(x)=\frac{1}{x}$ su $[0;1]$?
Nooo, la penitenza di Natale nooo 
ma come, sono tutti più buoni e tu piazzi le penitenze...cattivo (ovviamente scherzo )
Vediamo un poco, questo non è buono perché (forse) la derivata destra in $0$ non esiste, o meglio, non esiste finita?
Per l'esempio buono appuntamento a domani perché è l'una e un quarto e ho sonno.
Buona notte.
ma come, sono tutti più buoni e tu piazzi le penitenze...cattivo (ovviamente scherzo )Vediamo un poco, questo non è buono perché (forse) la derivata destra in $0$ non esiste, o meglio, non esiste finita?
Per l'esempio buono appuntamento a domani perché è l'una e un quarto e ho sonno.
Buona notte.
"WiZaRd":
Vediamo un poco, questo non è buono perché (forse) la derivata destra in $0$ non esiste, o meglio, non esiste finita?
Ma devo fare il controesempio di cosa?
Comincio a perdermi: io ho chiesto se il teorema $f(x) \mbox{ derivabile in } ]a;b[ => mbox{ tesi di Lagrange }$ è buono, e tu mi hai deto di no, chiedendomi un controesempio; io ho capito che il controesempio doveva essere una funzione derivabile in $]a;b[$ e non continua in $a$ e\o $b$ per la quale la tesi di Lagrange non vale: ho capito bene o non ho capito la tua domanda (facile che sia la seconda)?
Poi ho detto na gran min****ta nel mio ultimo post dell'una e un quarto perché che la funzione non sia derivabile dalla destra in $0$ non ne compromette la derivabilità in $]0;1[$...giusto o no?
Comincio a perdermi: io ho chiesto se il teorema $f(x) \mbox{ derivabile in } ]a;b[ => mbox{ tesi di Lagrange }$ è buono, e tu mi hai deto di no, chiedendomi un controesempio; io ho capito che il controesempio doveva essere una funzione derivabile in $]a;b[$ e non continua in $a$ e\o $b$ per la quale la tesi di Lagrange non vale: ho capito bene o non ho capito la tua domanda (facile che sia la seconda)?
Poi ho detto na gran min****ta nel mio ultimo post dell'una e un quarto perché che la funzione non sia derivabile dalla destra in $0$ non ne compromette la derivabilità in $]0;1[$...giusto o no?
Sorry, ma continuo a ritenere che tu stia seguendo un approccio sbagliato alla mate.
Rileggiti con calma l'intero thread a partire da qui:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#193516
Rifletti sul teorema di Lagrange, sul suo enunciato, su cosa vuol dire.
Lascia perdere l'ansia da prestazioni (misurate in numero di post).
Astieniti dal postare finché, tra qualche giorno, non avrai una risposta seria, meditata, compiuta.
Come si vede, non riesco a staccarmi dalle mie abitudini da prof...
Rileggiti con calma l'intero thread a partire da qui:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#193516
Rifletti sul teorema di Lagrange, sul suo enunciato, su cosa vuol dire.
Lascia perdere l'ansia da prestazioni (misurate in numero di post).
Astieniti dal postare finché, tra qualche giorno, non avrai una risposta seria, meditata, compiuta.
Come si vede, non riesco a staccarmi dalle mie abitudini da prof...
"Fioravante Patrone":
Sorry, ma continuo a ritenere che tu stia seguendo un approccio sbagliato alla mate.
Perché?
"Fioravante Patrone":
Lascia perdere l'ansia da prestazioni (misurate in numero di post).
Non ho l'ansia da prestazioni.
"Fioravanate Patrone":
Astieniti dal postare finché, tra qualche giorno, non avrai una risposta seria, meditata, compiuta.
Ci proverò, ma il punto è che non capisco perché $f(x)=\frac{1}{x}$ non è buona: è derivabile in $]0;1[$, quindi è ivi continua, è continua dalla sinistra in $x=1$, ma non è continua dalla destra in $x=0$ perché non è definita in $x=0$. Le ipotesi del "teorema" $f(x) ambox{ derivabile in } ]a;b[ => \mbox{ tesi di Lagrange }$ sono rispettate, perché è derivabile in $]0;1[$, ma il teorema non è applicabile perché manca $f(0)$.
Se non devo trovare il contresempio di questo "teorema" devo trovare il contresempio di che?
Hai fatto benissimo ad ignorare le mie raccomandazioni. Non solo rientra nella tua libertà d'azione, ma è anche un buon segno di autonomia di pensiero.
Visto che, però, io sono convinto di quanto ho scritto, non aspettarti che ti risponda.
Ciao
Visto che, però, io sono convinto di quanto ho scritto, non aspettarti che ti risponda.
Ciao
E quando mi risponderai?
Quando indivinerò le risposte?
Quando indivinerò le risposte?
se la funzione non fosse ivi continua sarebbe ancora valido il teorema?
la funzione data da te non è nemmeno ben definita,poi togli lo zero però tu volevi non fosse continua ma definita...se valutiamo per esempio la funzione $f(x)= x$ in $(0,1]$ e $f(0)=1$, allora abbiamo una funzione differenziabile sull'aperto e discontinua in 0...il teorema di lagrage in questo caso non vale...
Quindi tutto il problema di quella che ho dato io era il fatto che non esisteva $f(0)$? Cioè, fatemi capire, se dicevo $f : [0;1] to \mathbb{R}$ con $f(x)={(1000 \mbox{ se } x=0), (\frac{1}{x} \mbox{ altrimenti }):}$ andava bene come controesempio?
Ma io sono un deficiente, ma proprio un deficiente di quelli che raramente se ne trovano....ma che deficiente....
Ma io sono un deficiente, ma proprio un deficiente di quelli che raramente se ne trovano....ma che deficiente....
Ciao WiZaRd,
per darti lo stesso consiglio che già ti ha dato il prof, quando ti poni una domanda rifletti bene e cerca di risponderti da solo. Se non riesci a risponderti, scrivi la domanda e tienila in un posto che saprai ritrovare subito se ti verrà in mente un'idea in merito, portatela in giro - assieme ad una penna, evidentemente - la mattina quando vai a bere un caffé, la sera quando esci con gli amici, ... Questo perché a volte la risposta sembra difficile ma non lo è, magari è del tutto alla tua portata, ci puoi arrivare benissimo con gli strumenti di cui disponi, e ci puoi arrivare nei momenti più inaspettati! Il tuo cervello elabora da solo le cose su cui hai riflettuto.
Quello che mi sembra che tu abbia fatto in questo 'filone' invece è quanto segue: ti sei posto una domanda, hai subito chiesto consiglio a una marea di studenti di matematica e matematici, e quando le loro risposte o domande non ti apparivano chiare ribattevi subito che avevi difficoltà a capire e confusione. Come credo ti sia reso conto, è molto più produttivo rispondersi da soli.
Ovviamente, quando proprio sei nella disperazione sei legittimato a "giocare il jolly" e domandare agli 'esperti'.
Se non seguirai questo mio consiglio, spero almeno che ci rifletterai
Ciao ciao.
per darti lo stesso consiglio che già ti ha dato il prof, quando ti poni una domanda rifletti bene e cerca di risponderti da solo. Se non riesci a risponderti, scrivi la domanda e tienila in un posto che saprai ritrovare subito se ti verrà in mente un'idea in merito, portatela in giro - assieme ad una penna, evidentemente - la mattina quando vai a bere un caffé, la sera quando esci con gli amici, ... Questo perché a volte la risposta sembra difficile ma non lo è, magari è del tutto alla tua portata, ci puoi arrivare benissimo con gli strumenti di cui disponi, e ci puoi arrivare nei momenti più inaspettati! Il tuo cervello elabora da solo le cose su cui hai riflettuto.
Quello che mi sembra che tu abbia fatto in questo 'filone' invece è quanto segue: ti sei posto una domanda, hai subito chiesto consiglio a una marea di studenti di matematica e matematici, e quando le loro risposte o domande non ti apparivano chiare ribattevi subito che avevi difficoltà a capire e confusione. Come credo ti sia reso conto, è molto più produttivo rispondersi da soli.
Ovviamente, quando proprio sei nella disperazione sei legittimato a "giocare il jolly" e domandare agli 'esperti'.
Se non seguirai questo mio consiglio, spero almeno che ci rifletterai
Ciao ciao.
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