Criterio d'irriducibilità negli interi Gaussiani

[fole1]

Il problema è il seguente:

Siano \(\displaystyle a,b \in \mathbb{Z} \) e sia \(\displaystyle a+i \cdot b \in \mathbb{Z}=\{a+i\cdot b | a,b\in\mathbb{Z}\} \). Dimostrare:
1. \(\displaystyle a^2+b^2 \) primo \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle a+i \cdot b \) irriducibile in \(\displaystyle \mathbb{Z} \).
2. Il contrario della parte 1. è falso.

La parte 1. è facilmente dimostrabile prendendo in considerazione la norma complessa: \(\displaystyle N(a+i\cdot b):=a^2+b^2 \). Se \(\displaystyle a+i\cdot b = z\cdot w \), siccome \(\displaystyle N(z\cdot w)=N(z)\cdot N(w)=a^2+b^2 \) è primo, abbiamo che \(\displaystyle N(w)=1 \) o \(\displaystyle N(z)=1 \), cioè che \(\displaystyle w \) o \(\displaystyle z \) sono unità e dunque \(\displaystyle a+i\cdot b \) è irriducibile.

Per la parte 2. ho provato per controesempio, cioè cercare un elemento irriducibile la cui norma non sia prima, ma non ho trovato nulla. Qualche idea?

Grazie

[Studente Anonimo]

Beh, ci sono numeri primi [tex]p \in \mathbb{Z}[/tex] che sono irriducibili anche in [tex]\mathbb{Z}[/tex], tutti quelli congrui a 3 modulo 4, per esempio [tex]p=3[/tex]. Infatti se fosse [tex]p = (a+ib)(c+id)[/tex] con [tex]a+ib,c+id[/tex] non unità allora prendendo le norme otterremmo [tex]p^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)[/tex] e siccome [tex]p[/tex] è primo e [tex]a^2+b^2,c^2+d^2 \neq 1[/tex] otteniamo [tex]p = a^2+b^2[/tex], e notoriamente per un primo dispari essere somma di due quadrati è equivalente ad essere congruo a 1 modulo 4.

Morale, [tex]3[/tex] è irriducibile in [tex]\mathbb{Z}[/tex] ma [tex]N(3)=3^2[/tex] non è un primo.

[fole1]

Più semplice di qunato pensassi Infatti stavo solo considerando i casi in cui sia a che b diversi da zero e non trovavo nulla.
Grazie