Criterio di irriducibilità di Eistein e polinomi
Salve a tutti,
come previsto mi sto studiando un pò di cose per arrivare con delle buone basi all'esame di Analisi Matematica. Nel farlo ho pensato che di approfondire un pò cos'è un polinomio, e mi sono imbattuto ovviamente nella riducibilità o meno.
Dunque, sapendo che in un campo $k$ un polinomio di grado $>3$ ha radici $rarr$ è riducibile, ma non vale il viceversa, mi interessa capire come scoprire con certezza "che è irriducibile".
Mi sono imbatutto sul criterio di irriducibilità di Eistein, ma questo vale sul campo $Z$ solamente? Poi dice che è una condizione sufficente ma non necessaria di irriducbilità. Quindi potrebbe "non verificarsi" tale criterio ed essere ancora irriducibile.
Che voi sappiate esiste qualche teorema, di non torppa difficile comprensione, che mi dica inequivocabilmente se un polinomio è riducibile o meno?
No perchè già mi immagino come un cretino a cercare di ridurre qualcosa di irriducbile, finchè non passa qualcuno a dirmi "ehhh ma guarda, con il teorema xyz si dimostra che non è ridicubile"
Grazie in anticipo,
Neptune.
come previsto mi sto studiando un pò di cose per arrivare con delle buone basi all'esame di Analisi Matematica. Nel farlo ho pensato che di approfondire un pò cos'è un polinomio, e mi sono imbattuto ovviamente nella riducibilità o meno.
Dunque, sapendo che in un campo $k$ un polinomio di grado $>3$ ha radici $rarr$ è riducibile, ma non vale il viceversa, mi interessa capire come scoprire con certezza "che è irriducibile".
Mi sono imbatutto sul criterio di irriducibilità di Eistein, ma questo vale sul campo $Z$ solamente? Poi dice che è una condizione sufficente ma non necessaria di irriducbilità. Quindi potrebbe "non verificarsi" tale criterio ed essere ancora irriducibile.
Che voi sappiate esiste qualche teorema, di non torppa difficile comprensione, che mi dica inequivocabilmente se un polinomio è riducibile o meno?
No perchè già mi immagino come un cretino a cercare di ridurre qualcosa di irriducbile, finchè non passa qualcuno a dirmi "ehhh ma guarda, con il teorema xyz si dimostra che non è ridicubile"
Grazie in anticipo,
Neptune.
Risposte
Mi permetto di intromettermi nella discussione, tentando di fare ordine in alcuni punti.
Questo è falso: ad esempio $2$ è un irriducibile di $ZZ[X]$ ma non di $QQ[X]$.
Def: Sia $A$ un anello commutativo con identità. $f in A[x] - {0}$ si dice primitivo se l'ideale generato dai suoi coefficienti è tutto l'anello $A$.
Sia $A$ un UFD, dominio a fattorizzazione unica, (chi non sa cosa sia supponga $A=ZZ$), e sia $K$ il campo dei quozienti di $A$ (se si è supposto $A=ZZ$ allora $K = QQ$). (Si suppone sempre $A \subseteq K$ e $A[x] subseteq K[x]$). Allora valgono i seguenti:
1) (Lemma di Gauss) Sia $f \in A[x]$, $f != 0$, e siano $g,h \in K[x]$ tali che $f=gh$. Allora esistono $g_1,h_1 in A[x]$ tali che $f=g_1 h_1$, $\text{deg} g_1 = \text{deg} g$ e $\text{deg} h_1 = \text{deg} h$.
2) Sia $f in A \subset A[x]$. Allora $f$ è irriducibile in $A[x]$ se e solo se $f$ è irriducibile in $A$.
3) Sia $f in A[x]$ e $\text{deg} f \geq 1$. Allora $f$ è irriducibile in $A[x]$ se e solo se $f$ è primitivo in $A[x]$ ed è irriducibile in $K[x]$.
4) (Criterio di Eisenstein) Sia $f(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 in A[x]$ e $\text{deg} f = n \geq 1$. Sia $p in A$ un irriducibile di $A$ tale che $p$ non divide $a_n$, $p^2$ non divide $a_0$, $p$ divide $a_i$ per $i=0,...,n-1$. Allora $f$ è irriducibile in $K[x]$.
Alcune osservazioni:
2),3) caratterizzano completamente gli irriducibili di $A[x]$.
Si noti che è falsa l'implicazione: $f in A[x]$ irriducibile in $K[x]$ => $f$ irriducibile in $A[x]$.
Mentre è vera l'implicazione: $f in A[x]$ non costante e irriducibile in $K[x]$ => $f$ irriducibile in $A[x]$.
Si noti infine che il criterio di Eisenstein garantisce l'irriducibilità su $K[x]$ ma non su $A[x]$: ad esempio $f(x) = 2X + 2$ soddisfa l'ipotesi del criterio ma non è irriducibile in $ZZ[x]$
"blackbishop13":
il lemma di Gauss dice che se un polinomio è irriducibile in $ZZ[x]$ allora lo è anche in $QQ[x]$.
Questo è falso: ad esempio $2$ è un irriducibile di $ZZ[X]$ ma non di $QQ[X]$.
Def: Sia $A$ un anello commutativo con identità. $f in A[x] - {0}$ si dice primitivo se l'ideale generato dai suoi coefficienti è tutto l'anello $A$.
Sia $A$ un UFD, dominio a fattorizzazione unica, (chi non sa cosa sia supponga $A=ZZ$), e sia $K$ il campo dei quozienti di $A$ (se si è supposto $A=ZZ$ allora $K = QQ$). (Si suppone sempre $A \subseteq K$ e $A[x] subseteq K[x]$). Allora valgono i seguenti:
1) (Lemma di Gauss) Sia $f \in A[x]$, $f != 0$, e siano $g,h \in K[x]$ tali che $f=gh$. Allora esistono $g_1,h_1 in A[x]$ tali che $f=g_1 h_1$, $\text{deg} g_1 = \text{deg} g$ e $\text{deg} h_1 = \text{deg} h$.
2) Sia $f in A \subset A[x]$. Allora $f$ è irriducibile in $A[x]$ se e solo se $f$ è irriducibile in $A$.
3) Sia $f in A[x]$ e $\text{deg} f \geq 1$. Allora $f$ è irriducibile in $A[x]$ se e solo se $f$ è primitivo in $A[x]$ ed è irriducibile in $K[x]$.
4) (Criterio di Eisenstein) Sia $f(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 in A[x]$ e $\text{deg} f = n \geq 1$. Sia $p in A$ un irriducibile di $A$ tale che $p$ non divide $a_n$, $p^2$ non divide $a_0$, $p$ divide $a_i$ per $i=0,...,n-1$. Allora $f$ è irriducibile in $K[x]$.
Alcune osservazioni:
2),3) caratterizzano completamente gli irriducibili di $A[x]$.
Si noti che è falsa l'implicazione: $f in A[x]$ irriducibile in $K[x]$ => $f$ irriducibile in $A[x]$.
Mentre è vera l'implicazione: $f in A[x]$ non costante e irriducibile in $K[x]$ => $f$ irriducibile in $A[x]$.
Si noti infine che il criterio di Eisenstein garantisce l'irriducibilità su $K[x]$ ma non su $A[x]$: ad esempio $f(x) = 2X + 2$ soddisfa l'ipotesi del criterio ma non è irriducibile in $ZZ[x]$
"mistake89":Attenzione che questo è vero solo se si lavora nell'anello $QQ[x]$! Mi spiego meglio: $f(x)=2x$, $g(x)=3x$ sono polinomi associati in $QQ[x]$, ma non hanno gli stessi fattori irriducibili nella fattorizzazione in $ZZ[x]$.
ogni polinomio di $QQ[X]$ è associato ad un polinomio di $ZZ[X]$, con il quale ha in comune le radici e tutti i fattori irriducibili
"NightKnight":
[quote="blackbishop13"]il lemma di Gauss dice che se un polinomio è irriducibile in $ZZ[x]$ allora lo è anche in $QQ[x]$.
Questo è falso: ad esempio $2$ è un irriducibile di $ZZ[X]$ ma non di $QQ[X]$.
[/quote]
mi piacerebbe vedere una fattorizzazione del polinomio $2$ in $QQ[x]$ contando che una fattorizzazione è unica a meno di invertibili,e questo non l'ho deciso io. Allora neanche in $ZZ[x]$ $2$ è irriducibile, perchè $2=(-1)*(-2)$...
il lemma di gauss dice proprio quello, e contraddirlo mi pare un po' tanto arrogante.
"blackbishop13":Questo è falso: ad esempio $2$ è un irriducibile di $ZZ[X]$ ma non di $QQ[X]$.
[quote="NightKnight"][quote="blackbishop13"]il lemma di Gauss dice che se un polinomio è irriducibile in $ZZ[x]$ allora lo è anche in $QQ[x]$.
[/quote]mi piacerebbe vedere una fattorizzazione del polinomio $2$ in $QQ[x]$ contando che una fattorizzazione è unica a meno di invertibili,e questo non l'ho deciso io. Allora neanche in $ZZ[x]$ $2$ è irriducibile, perchè $2=(-1)*(-2)$...
il lemma di gauss dice proprio quello, e contraddirlo mi pare un po' tanto arrogante.[/quote]Il fatto è che di solito per "elemento irriducibile" si intende "elemento non invertibile $a$ tale che se $a=bc$ allora uno tra $b$ e $c$ è invertibile". Secondo questa definizione $2$ non è irriducibile in $QQ[X]$ essendo invertibile. Secondo me il lemma di Gauss andrebbe formulato in maniera leggermente diversa, tipo:
Se $f(x)$ è un polinomio di $ZZ[X]$ irriducibile in $ZZ[X]$ e non invertibile in $QQ[X]$ allora $f(x)$ è irriducibile in $QQ[X]$.
Sono in parte d'accordo con quello che dici Martino, però secondo me non consideri una cosa:
la fattorizzazione in irriducibili di un polinomio a coefficienti in un anello deve essere unica a meno di invertibili.
altrimenti si perde la fattorizzazione unica ti pare?
Se dici che $2$ non è irriducibile devi mostrarmi che esiste ed è unica la fattorizzazione in irriducibili di $2$, perchè deve esserlo essendo $2 in QQ[x]$.
e come fai se dici che $2$ e quindi ogni elemento di $QQ$ che è un campo, non è irriducibile?
cosa ne pensi?
la fattorizzazione in irriducibili di un polinomio a coefficienti in un anello deve essere unica a meno di invertibili.
altrimenti si perde la fattorizzazione unica ti pare?
Se dici che $2$ non è irriducibile devi mostrarmi che esiste ed è unica la fattorizzazione in irriducibili di $2$, perchè deve esserlo essendo $2 in QQ[x]$.
e come fai se dici che $2$ e quindi ogni elemento di $QQ$ che è un campo, non è irriducibile?
cosa ne pensi?
"blackbishop13":No, non devo mostrarti questo.
Se dici che $2$ non è irriducibile devi mostrarmi che esiste ed è unica la fattorizzazione in irriducibili di $2$, perchè deve esserlo essendo $2 in QQ[x]$.
Cito da Wikipedia:
"Un elemento a di A è irriducibile se non è un'unità e non può essere scritto come prodotto di due non-unità."
Se non sei d'accordo con questa definizione non leggere quanto segue.
In particolare un elemento invertibile (cioè un'unità) è automaticamente non irriducibile (per definizione, non per altro). Quindi 2 essendo invertibile in $QQ[X]$ non è irriducibile. Esattamente come $1$ non è irriducibile in $ZZ$ essendo invertibile.
Secondo me stiamo solo giocando sulle definizioni.
per favore prova a dirmi come faresti questa cosa, per capire un po':
abbiamo $2x-2 in ZZ[x]$ saremo daccordo che è riducibile, e la sua fattorizzazione in irriducibili (unica a meno di invertibili) è
$2(x-1)=-2(-x+1)$. giusto?
allora adesso prendiamo $2x-2 in QQ[x]$. secondo me è irriducibile, infatti una sua eventuale fattorizzazione come $2(x-1)=7(2/7x-2/7)$
è comunque unica a meno di invertibili.
per favore prova a dirmi come faresti questa cosa, per capire un po':
abbiamo $2x-2 in ZZ[x]$ saremo daccordo che è riducibile, e la sua fattorizzazione in irriducibili (unica a meno di invertibili) è
$2(x-1)=-2(-x+1)$. giusto?
allora adesso prendiamo $2x-2 in QQ[x]$. secondo me è irriducibile, infatti una sua eventuale fattorizzazione come $2(x-1)=7(2/7x-2/7)$
è comunque unica a meno di invertibili.
Sono d'accordo con te.
Il problema nasce quando si considerano i polinomi di grado zero. Ma è una mera questione di definizioni.
Il problema nasce quando si considerano i polinomi di grado zero. Ma è una mera questione di definizioni.
Ok perfetto, il più era questo.
poi mi va anche bene dire che ci sono tre tipi di polinomi:
riducibili
irriducibili (a meno di invertibili)
invertibili, che in pratica non sono riducibili perchè non possiamo scriverne una fattorizzazione, ma non vogliamo chiamarli irriducibili.
grazie Martino!
poi mi va anche bene dire che ci sono tre tipi di polinomi:
riducibili
irriducibili (a meno di invertibili)
invertibili, che in pratica non sono riducibili perchè non possiamo scriverne una fattorizzazione, ma non vogliamo chiamarli irriducibili.
grazie Martino!
io ho trovato che basta vedere se i coefficienti non nulli del polinomio abbiano comd MCD 1, in tal caso il polinomio è irriducibile, è attendibile?
"sonda90":
io ho trovato che basta vedere se i coefficienti non nulli del polinomio abbiano comd MCD 1, in tal caso il polinomio è irriducibile, è attendibile?
Assolutamente no.
ops ho sbagliato se il MCD dei suoi coefficienti non nulli è 1 alllora il polinomio è primitivo, che avevo scambiato per irriducibile, pardon
ho visto cosa si intende per criterio di Einstein, quindi il polinomio $2x^3-x^2+x-2$ in $Z_3$ non è irriducibile giusto? L'unico numero primo che divide i coefficienti del polinomio è $p=1$ ma che divide anche il termine di grado maggiore quindi non è irriducibile
Però ora che ci penso il polinomio ha delle radici reali in $Z_3$ infatti se $x=1$ il polinomio si annulla, quindi è riducibile (non irriducibile) giusto?
Però ora che ci penso il polinomio ha delle radici reali in $Z_3$ infatti se $x=1$ il polinomio si annulla, quindi è riducibile (non irriducibile) giusto?
primo errore, gravissimo: $1$ non è primo...
secondo errore, grave: il criterio di Eisenstein è una condizione sufficiente ma non necessaria!
ovvero non è detto che se in un polinomio esiste un primo che divide tutti i coefficienti allora il polinomio è riducibile, ma proprio no..
è la differenza che c'è tra implicazione e coimplicazione.
cosa buona: è vero quel polinomio è riducibile perchè ha una radice.
secondo errore, grave: il criterio di Eisenstein è una condizione sufficiente ma non necessaria!
ovvero non è detto che se in un polinomio esiste un primo che divide tutti i coefficienti allora il polinomio è riducibile, ma proprio no..
è la differenza che c'è tra implicazione e coimplicazione.
cosa buona: è vero quel polinomio è riducibile perchè ha una radice.
"sonda90":
criterio di Einstein
....terzo errore: è criterio di Eisenstein
"sonda90":
ho visto cosa si intende per criterio di Einstein, quindi il polinomio $2x^3-x^2+x-2$ in $Z_3$ non è irriducibile giusto? L'unico numero primo che divide i coefficienti del polinomio è $p=1$ ma che divide anche il termine di grado maggiore quindi non è irriducibile
Però ora che ci penso il polinomio ha delle radici reali in $Z_3$ infatti se $x=1$ il polinomio si annulla, quindi è riducibile (non irriducibile) giusto?
Attenzione che il criterio di Eisenstein vale nei domini a fattorizzazione unica. Ora $ZZ_3$ è un campo e quindi un UFD, quindi si potrebbe usare in teoria Eisenstein: ma $ZZ_3$, essendo un campo, non ha elementi primi.
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