Criterio di irriducibilità di Eistein e polinomi
Salve a tutti,
come previsto mi sto studiando un pò di cose per arrivare con delle buone basi all'esame di Analisi Matematica. Nel farlo ho pensato che di approfondire un pò cos'è un polinomio, e mi sono imbattuto ovviamente nella riducibilità o meno.
Dunque, sapendo che in un campo $k$ un polinomio di grado $>3$ ha radici $rarr$ è riducibile, ma non vale il viceversa, mi interessa capire come scoprire con certezza "che è irriducibile".
Mi sono imbatutto sul criterio di irriducibilità di Eistein, ma questo vale sul campo $Z$ solamente? Poi dice che è una condizione sufficente ma non necessaria di irriducbilità. Quindi potrebbe "non verificarsi" tale criterio ed essere ancora irriducibile.
Che voi sappiate esiste qualche teorema, di non torppa difficile comprensione, che mi dica inequivocabilmente se un polinomio è riducibile o meno?
No perchè già mi immagino come un cretino a cercare di ridurre qualcosa di irriducbile, finchè non passa qualcuno a dirmi "ehhh ma guarda, con il teorema xyz si dimostra che non è ridicubile"
Grazie in anticipo,
Neptune.
come previsto mi sto studiando un pò di cose per arrivare con delle buone basi all'esame di Analisi Matematica. Nel farlo ho pensato che di approfondire un pò cos'è un polinomio, e mi sono imbattuto ovviamente nella riducibilità o meno.
Dunque, sapendo che in un campo $k$ un polinomio di grado $>3$ ha radici $rarr$ è riducibile, ma non vale il viceversa, mi interessa capire come scoprire con certezza "che è irriducibile".
Mi sono imbatutto sul criterio di irriducibilità di Eistein, ma questo vale sul campo $Z$ solamente? Poi dice che è una condizione sufficente ma non necessaria di irriducbilità. Quindi potrebbe "non verificarsi" tale criterio ed essere ancora irriducibile.
Che voi sappiate esiste qualche teorema, di non torppa difficile comprensione, che mi dica inequivocabilmente se un polinomio è riducibile o meno?
No perchè già mi immagino come un cretino a cercare di ridurre qualcosa di irriducbile, finchè non passa qualcuno a dirmi "ehhh ma guarda, con il teorema xyz si dimostra che non è ridicubile"
Grazie in anticipo,
Neptune.
Risposte
[mod="dissonance"]Sposto in Algebra. Ah, e il criterio si chiama di Eisenstein, non di Einstein. 
[/mod]
[/mod]
"Neptune":
Salve a tutti,
come previsto mi sto studiando un pò di cose per arrivare con delle buone basi all'esame di Analisi Matematica. Nel farlo ho pensato che di approfondire un pò cos'è un polinomio, e mi sono imbattuto ovviamente nella riducibilità o meno.
Dunque, sapendo che in un campo $k$ un polinomio di grado $>3$ ha radici $rarr$ è riducibile, ma non vale il viceversa, mi interessa capire come scoprire con certezza "che è irriducibile".
Mi sono imbatutto sul criterio di irriducibilità di Eistein, ma questo vale sul campo $Z$ solamente? Poi dice che è una condizione sufficente ma non necessaria di irriducbilità. Quindi potrebbe "non verificarsi" tale criterio ed essere ancora irriducibile.
Che voi sappiate esiste qualche teorema, di non torppa difficile comprensione, che mi dica inequivocabilmente se un polinomio è riducibile o meno?
No perchè già mi immagino come un cretino a cercare di ridurre qualcosa di irriducbile, finchè non passa qualcuno a dirmi "ehhh ma guarda, con il teorema xyz si dimostra che non è ridicubile"
Grazie in anticipo,
Neptune.
Dipende dall'anello. Eisenstein è applicabile sia in Q che in Z se non sbaglio. In Q comunque, potresti anche usare il criterio della radici razionali, cioè se b/c è radice del polinomio, allora il polinomio sarà divisibile per (x-b/c), con b un divisore del termine noto, e c un divisore del coefficente di grado massimo; Se nessun b/c annulla il polinomio, allora sicuramente il polinomio avrà radici irrazionali o complesse. Inoltre in Q[x], potresti trasferire il polinomio in Zp[X], con p primo; se tale polinomio è irriducibile in Zp, allora lo sarà anche in Q.
In R, gli unici polinomi irrudicibili sono quelli di grado 1 e quelli di grado 2 con il discriminante minore di 0.
In C, solo i polinomi di grado <= 1.
1. Se un polinomio a coefficienti in un campo (ma anche in un anello direi) di grado $>=2$ ha una radice è riducibile. Non solo se ha grado $>3$.
2.Certo il criterio di Eisenstein vale solo per i polinomi a coefficienti in $ZZ$, altrimenti si perde il concetto di numero primo.
3.Non esiste nessuna formula magica che dato un polinomio ti dica immediatamente se è riducibile o no.
2.Certo il criterio di Eisenstein vale solo per i polinomi a coefficienti in $ZZ$, altrimenti si perde il concetto di numero primo.
3.Non esiste nessuna formula magica che dato un polinomio ti dica immediatamente se è riducibile o no.
"PNiowa":
Dipende dal campo. Eisenstein è applicabile sia in Q che in Z se non sbaglio. In Q comunque, potresti anche usare il criterio della radici razionali, cioè se b/c è radice del polinomio, allora il polinomio sarà divisibile per (x-b/c), con b un divisore del termine noto, e c un divisore del coefficente di grado massimo; Se nessun b/c annulla il polinomio, allora sicuramente il polinomio avrà radici irrazionali o complesse. Inoltre in Q[x], potresti trasferire il polinomio in Zp[X], con p primo; se tale polinomio è irriducibile in Zp, allora lo sarà anche in Q.
In R, gli unici polinomi irrudicibili sono quelli di grado 1 e quelli di grado 2 con il discriminante minore di 0.
In C, solo i polinomi di grado >= 1.
$ZZ$ non è assolutamente un campo.
in $QQ$ come detto non ha senso il concetto di divide: è un campo.
il criterio delle radici è una parte di quello che affermi, il resto sono altri concetti che c'entrano poco.
Ciò che dici su $RR$ è falso: $x^4+1$ è di quarto grado e irriducibile.
Non esistono polinomi a coefficienti in $CC$ di grado maggiore di 1 irriducibili, $CC$ è chiuso algebricamente.
"blackbishop13":
[quote="PNiowa"]
Dipende dal campo. Eisenstein è applicabile sia in Q che in Z se non sbaglio. In Q comunque, potresti anche usare il criterio della radici razionali, cioè se b/c è radice del polinomio, allora il polinomio sarà divisibile per (x-b/c), con b un divisore del termine noto, e c un divisore del coefficente di grado massimo; Se nessun b/c annulla il polinomio, allora sicuramente il polinomio avrà radici irrazionali o complesse. Inoltre in Q[x], potresti trasferire il polinomio in Zp[X], con p primo; se tale polinomio è irriducibile in Zp, allora lo sarà anche in Q.
In R, gli unici polinomi irrudicibili sono quelli di grado 1 e quelli di grado 2 con il discriminante minore di 0.
In C, solo i polinomi di grado >= 1.
$ZZ$ non è assolutamente un campo.
in $QQ$ come detto non ha senso il concetto di divide: è un campo.
il criterio delle radici è una parte di quello che affermi, il resto sono altri concetti che c'entrano poco.
Ciò che dici su $RR$ è falso: $x^4+1$ è di quarto grado e irriducibile.
Non esistono polinomi a coefficienti in $CC$ di grado maggiore di 1 irriducibili, $CC$ è chiuso algebricamente.[/quote]
Si ho corretto, intendevo anello, non campo.
Riguardo C, intendevo <= 1. Typo.
Riguardo Zp: se un polinomio è irriducibile in Zp allora è irriducibile in Q essendo Zp un sottoanello di Q. Sbaglio?
"blackbishop13":
Ciò che dici su $RR$ è falso: $x^4+1$ è di quarto grado e irriducibile.
No, occhio che questo è falso.
In $RR[X]$ si ha $x^4+1=(x^2+sqrt2x+1)(x^2-sqrt2x+1)$.
E' corretto quanto detto da PNiowa: gli unici polinomi irriducibili su $RR[X]$ sono quelli di primo grado e quelli di secondo con discriminante negativo.
Giusto, scusate, spero di aver risposto a Neptune e chiarito i suoi dubbi.
grazie Paolo90, sempre attento!
grazie Paolo90, sempre attento!
Grazie a te, blackbishop13.
E' stata solo una svista, immagino. Nessun problema, tranquillo.
E' stata solo una svista, immagino. Nessun problema, tranquillo.
Sisis ho capito, bisogna vedere caso per caso insomma, non c'è una regola generale. Troppo bello altrimenti
Già che ci sono ne approfitto anche per un saluto a Paolo90 che è praticamente presente in tutte le mie discussioni.. metà dell'esame di Discreta praticamente lo devo a Paolo e a wizard
Già che ci sono ne approfitto anche per un saluto a Paolo90 che è praticamente presente in tutte le mie discussioni.. metà dell'esame di Discreta praticamente lo devo a Paolo e a wizard
Ciao Neptune
Sei troppo buono , ti ringrazio molto. Sono molto felice di sapere di esserti stato utile. Mi raccomando, fatti onore anche per analisi. E se hai bisogno, sai che noi siamo qui.
Buono studio!
Ciao.
Sei troppo buono
, ti ringrazio molto. Sono molto felice di sapere di esserti stato utile. Mi raccomando, fatti onore anche per analisi. E se hai bisogno, sai che noi siamo qui. Buono studio!
Ciao.
"Neptune":Questione interessante. Qual è la definizione di polinomio?
ho pensato che di approfondire un pò cos'è un polinomio
Se n'era parlato qui. E anche qui.
"Martino":Questione interessante. Qual è la definizione di polinomio?
[quote="Neptune"]ho pensato che di approfondire un pò cos'è un polinomio
Se n'era parlato qui.[/quote]
La definizione che ho io dice:
Sia $k$ un campo. Dicesi polinomio $f(x)$ a coefficenti in $k$ nell'indeterminata $x$ una espressione formale del tipo:
$f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_nx^n$ con $a_n in K$ ed $n in NN$.
Gli elementi $a_i$ prendono il nome di coefficenti del polinomio;
L'insieme di tutti i polinomi nell'indeterminata $x$ a coefficenti nel campo $k$ si denota con $k[x]$
Questa è la definizione formale che ho io, ma dando una breve lettura la thread da te linkato noto che la discussione e di ben altro livello. Io lo sto guardando più come un discorso di completezza.
Vorrei fare un osservazione, se mi è permesso: Secondo me le scuole superiori sono il male.
Daccordo, quella era la frase ad effetto iniziale, a motivazione è che ti metti ad utilizzare cose "perchè è così". Poi arrivi all'università e studi il perchè si fa cosi. Dovrebbe seriamente essere il contrario.
Prorpio sui polinomi infatti se ne fa largo uso alle superiori, poi arrivi all'università e capisci finalmente "cosa in realtà stai facendo".
Un "esperimento" che mi sarebbe piaciuto fare, sarebbe quello di spiegare ad una mia amica 16enne, le varie proprietà degli interi, dei polinomi, insomma il perchè di quello che stanno facendo li in secondo superiore. Secondo me inizierebbe a porsi "domande" sempre più approfondite.
Ovvero, possibile che qualcuno possa affrontare degli argomenti, utilizzare delle formule senza minimamente chiedersene il perchè?
Daccordo scusate, sto andando off topic.
"Neptune":Sono d'accordo solo in parte. Secondo me in matematica a volte è seriamente più utile sapere usare una cosa piuttosto che sapere cosa sia. Solo quando la si sa usare perfettamente è bene chiedersi che cos'è. Per stare nel nostro esempio, non si può certo dire ad un ragazzino di prima superiore che un polinomio è una successione definitivamente nulla
Secondo me le scuole superiori sono il male.
Daccordo, quella era la frase ad effetto iniziale, a motivazione è che ti metti ad utilizzare cose "perchè è così". Poi arrivi all'università e studi il perchè si fa cosi. Dovrebbe seriamente essere il contrario.
questo lo porterebbe probabilmente ad essere insofferente verso la matematica.
"Martino":Sono d'accordo solo in parte. Secondo me in matematica a volte è seriamente più utile sapere usare una cosa piuttosto che sapere cosa sia. Solo quando la si sa usare perfettamente è bene chiedersi che cos'è. Per stare nel nostro esempio, non si può certo dire ad un ragazzino di prima superiore che un polinomio è una successione definitivamente nulla
[quote="Neptune"]Secondo me le scuole superiori sono il male.
Daccordo, quella era la frase ad effetto iniziale, a motivazione è che ti metti ad utilizzare cose "perchè è così". Poi arrivi all'università e studi il perchè si fa cosi. Dovrebbe seriamente essere il contrario.
questo lo porterebbe probabilmente ad essere insofferente verso la matematica.[/quote]Mha, non so, la matematica dell'università mi sta piacendo, perchè, almeno nella maggior parte dei casi, non "ha segreti". Alle superiori mi sembrava tutto un "applica questa o quella formula". Difatti mi sono giocato la matematica alle superiroi perchè mi scocciava impararmi le cose cosi a memoria. Poi mbho, molti altri credo che siano grati del fatto di potersi "imparare la pappardella a memoria e via"
Perchè avete detto che Eisenstein non vale in $QQ$ a me risulta proprio di sì. E poi per il lemma di gauss ogni polinomio a coefficienti in $QQ$ è riconducibile ad un polinomio a coefficienti in $ZZ$.
"mistake89":
Perchè avete detto che Eisenstein non vale in $QQ$ a me risulta proprio di sì. E poi per il lemma di gauss ogni polinomio a coefficienti in $QQ$ è riconducibile ad un polinomio a coefficienti in $ZZ$.
Ma dove l'hai letto?
Pardon forse mi sono espresso male rileggendo... Cioè il criterio di Eisenstein ci fornisce un criterio per l'irriducibilità su $QQ$ dei polinomi a coefficienti interi.
Però sappiamo anche che per il lemma di Gauss ogni polinomio a coefficienti in $QQ$ è riconducibile ad un polinomio a coefficienti in $ZZ$.
Questo volevo dire.
Però sappiamo anche che per il lemma di Gauss ogni polinomio a coefficienti in $QQ$ è riconducibile ad un polinomio a coefficienti in $ZZ$.
Questo volevo dire.
Forse su questa storia dei polinomi in $QQ[x]$ e $ZZ[x]$ mi sono espresso male io:
@mistake89: il lemma di Gauss non dice che un polinomio in $QQ[x]$ può essere ricondotto a uno in $ZZ[x]$, questa proprietà, di poter associare ad ogni $p in QQ[x]$ un $g in ZZ[x]$ facendo il $MCD$ dei denominatori eccetera, la si vede con semplici conti.
il lemma di Gauss dice che se un polinomio è irriducibile in $ZZ[x]$ allora lo è anche in $QQ[x]$.
e forse questo intendeva PNiowa (considerando inoltre che se un polinomio è irriducibile in $ZZ_p[x]$ lo è anche in $ZZ[x]$)
io dicevo che non si può applicare direttamente Eisenstein a un polinomio a coefficienti razionali, non avrebbe senso perchè non ha senso il concetto di divide: tutto divide tutto (ovvia eccezione lo $0$).
@mistake89: il lemma di Gauss non dice che un polinomio in $QQ[x]$ può essere ricondotto a uno in $ZZ[x]$, questa proprietà, di poter associare ad ogni $p in QQ[x]$ un $g in ZZ[x]$ facendo il $MCD$ dei denominatori eccetera, la si vede con semplici conti.
il lemma di Gauss dice che se un polinomio è irriducibile in $ZZ[x]$ allora lo è anche in $QQ[x]$.
e forse questo intendeva PNiowa (considerando inoltre che se un polinomio è irriducibile in $ZZ_p[x]$ lo è anche in $ZZ[x]$)
io dicevo che non si può applicare direttamente Eisenstein a un polinomio a coefficienti razionali, non avrebbe senso perchè non ha senso il concetto di divide: tutto divide tutto (ovvia eccezione lo $0$).
"mistake89":
Pardon forse mi sono espresso male rileggendo... Cioè il criterio di Eisenstein ci fornisce un criterio per l'irriducibilità su $QQ$ dei polinomi a coefficienti interi.
Però sappiamo anche che per il lemma di Gauss ogni polinomio a coefficienti in $QQ$ è riconducibile ad un polinomio a coefficienti in $ZZ$.
Questo volevo dire.
Il lemma di Gauss asserisce che se un polinomio è irriducibile in $ZZ$ allora lo sarà anche in $QQ$, ma non il viceversa. Forse intendevi a coeeficienti interi, o mi sbaglio?
Vi cito testualmente dalle dispense del mio Prof. che sicuramente è più chiaro di me
In questa lezione studiamo le fattorizzazioni di polinomi a coefficienti razionali. Ciascuno di questi
può essere trasformato in un polinomio a coefficienti interi tramite la moltiplicazione per un numero
intero non nullo. Quindi ogni polinomio di $QQ[ X ]$ è associato ad un polinomio di $ZZ[ X ]$ , con il quale
ha in comune le radici e tutti i fattori irriducibili. Nel nostro studio possiamo quindi limitarci a
considerare i polinomi a coefficienti interi, tanto più che, come conseguenza del Teorema di Gauss ogni polinomio non costante di $ZZ[ X ]$ possiede una
fattorizzazione in cui tutti i fattori appartengono a $ZZ[ X ]$ .
In questa lezione studiamo le fattorizzazioni di polinomi a coefficienti razionali. Ciascuno di questi
può essere trasformato in un polinomio a coefficienti interi tramite la moltiplicazione per un numero
intero non nullo. Quindi ogni polinomio di $QQ[ X ]$ è associato ad un polinomio di $ZZ[ X ]$ , con il quale
ha in comune le radici e tutti i fattori irriducibili. Nel nostro studio possiamo quindi limitarci a
considerare i polinomi a coefficienti interi, tanto più che, come conseguenza del Teorema di Gauss ogni polinomio non costante di $ZZ[ X ]$ possiede una
fattorizzazione in cui tutti i fattori appartengono a $ZZ[ X ]$ .
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