Criterio di Eisenstein

[anto_zoolander]

Volevo sapere se le osservazioni fatte in questa dimostrazione fossero corrette

Sia $P(x)=sum_(k=0)^(n)a_kx^k inZZ[x]$ un polinomio di grado $ngeq1$

Se $exists p inNN: p$ primo tale che valgono le seguenti

$• p|a_j,forallj=0,...,n-1$
$• p$ non divide $a_n$
$• p^2$ non divide $a_0$

Allora $P(x)$ è irriducibile

dimostrazione

Supponiamo per assurdo che sia riducibile e che quindi esistano due polinomi $Q(x),R(x)$ non invertibili tali che $P(x)=Q(x)*R(x)$ di grado rispettivamente $q,r$ con $q+r=n$

Poniamo $Q(x)=sum_(k=0)^(q)b_kx^k$ e $R(x)=sum_(k=0)^(r)c_kx^k$

È chiaro che $a_0=b_0c_0$ dunque essendo $p|a_0$ allora $p|b_0c_0$ con $p$ primo, allora deve dividere almeno uno dei due e non entrambi altrimenti $p^2|b_0c_0=a_0$, supponiamo che $p|b_0$ e non divida $c_0$

Consideriamo ora l’insieme $A={n inNN: p$ non divide $b_n}$ è non vuoto poiché se $p$ dividesse tutti i $b_i$ allora dividerebbe $a_n=b_q*c_r$

Pertanto essendo $AsubsetNN$ non vuoto ammette certamente minimo che chiameremo $i=minA$

Ora

$p|a_i=sum_(k=0)^(i)c_(i-k)b_k$

Inoltre poiché $p|b_j$ per $0leqk Sempre per il fatto che divida ogni loro combinazione lineare

Chiaramente dovrà dividere anche la differenza e quindi $p|c_0b_i$ ma non dividendo $b_i$ deve dividere $c_0$

Questo contraddice il fatto che $p$ non lo dividesse.

In sostanza a parte la cosa dell’esistenza di quel minimo poi si è usata solo la primalitá di $p$ e le proprietà della divisione.

[killing_buddha]

Mi sembra giusto. La stessa dimostrazione funziona per un polinomio $f\in R[X]$ dove $R$ è un UFD.

[anto_zoolander]

Top ancora meglio.
Ti ringrazio!