Criterio di divisibilità per 2^a*5^b
"Si mostri che per calcolare il resto della divisione di x per n = 2^a*5^b è sufficiente guardare le ultime c cifre decimali di x, ove c = max { a, b }."
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio, di formalizzazione più che altro.
Considero la scrittura decimale del numero x.
Ho capito che se c=a=b allora dopo a+1 cifre in scrittura decimale moltiplicherò per 10^a che è congruo a 0 mod (2*5)^a. Quindi dalla a-esima cifra in poi moltiplicherò per classe resto 0 quindi non le considero.
Senza perdita di generalità pongo a > b, quindi 2^a*5^b dividerà 10^a (corrispondente alla (a+1)-esima cifra) da lì in poi avrò classi resto 0.
L'idea penso sia giusta ma non penso che questa dimostrazione sia abbastanza formale
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio, di formalizzazione più che altro.
Considero la scrittura decimale del numero x.
Ho capito che se c=a=b allora dopo a+1 cifre in scrittura decimale moltiplicherò per 10^a che è congruo a 0 mod (2*5)^a. Quindi dalla a-esima cifra in poi moltiplicherò per classe resto 0 quindi non le considero.
Senza perdita di generalità pongo a > b, quindi 2^a*5^b dividerà 10^a (corrispondente alla (a+1)-esima cifra) da lì in poi avrò classi resto 0.
L'idea penso sia giusta ma non penso che questa dimostrazione sia abbastanza formale
Risposte
Il fatto che per calcolare il resto della divisione di $N$ per $n$ basta guardare le ultime $k$ cifre di $N$ e' equivalente al fatto che $10^{k}$ e' divisibile per $n$. Dimostriamo prima questa equivalenza.
Da sinistra verso destra: vogliamo dimostrare che $10^{k}$ e' divisibile per $n$. Certamente $0$ e' divisibile per $n$; $10^k$ ha le prime $k$ cifre uguali a quelle di $0$, quindi $10^k$ e' divisibile per $n$.
Da destra verso sinistra: supponiamo che $10^k$ sia divisibile per $n$. Prendiamo l'insieme \(X = \{ N + m10^k : m \in \mathbb{Z}\}\). Gli elementi di $X$ (o almeno, i suoi elementi positivi) sono tutti i numeri i numeri naturali che hanno le ultime $k$ cifre uguali a quelle di $N$. Ma certamente ogni elemento di $X$ ha lo stesso resto di $N$ nella divisione per $n$, perche' $n$ divide $10^k$.
Quindi nel nostro problema ci basta osservare che $n = 2^a 5^b$ divide $10^c$. E questo e' piu' o meno quello che hai mostrato tu. Piu' rapidamente basta scrivere $10^c = 2^c 5^c$ e osservare che questi esponenti sono almeno grandi quanto quelli di $n$.
Da sinistra verso destra: vogliamo dimostrare che $10^{k}$ e' divisibile per $n$. Certamente $0$ e' divisibile per $n$; $10^k$ ha le prime $k$ cifre uguali a quelle di $0$, quindi $10^k$ e' divisibile per $n$.
Da destra verso sinistra: supponiamo che $10^k$ sia divisibile per $n$. Prendiamo l'insieme \(X = \{ N + m10^k : m \in \mathbb{Z}\}\). Gli elementi di $X$ (o almeno, i suoi elementi positivi) sono tutti i numeri i numeri naturali che hanno le ultime $k$ cifre uguali a quelle di $N$. Ma certamente ogni elemento di $X$ ha lo stesso resto di $N$ nella divisione per $n$, perche' $n$ divide $10^k$.
Quindi nel nostro problema ci basta osservare che $n = 2^a 5^b$ divide $10^c$. E questo e' piu' o meno quello che hai mostrato tu. Piu' rapidamente basta scrivere $10^c = 2^c 5^c$ e osservare che questi esponenti sono almeno grandi quanto quelli di $n$.
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