Criteri di divisibilità
Ciao a tutti! Avrei bisogno di una delucidazione su come si può formalizzare la deduzione di un criterio di divisibilità per un numero in generale, per esempio di 125 o di 100.
Grazie mille in anticipo!
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Se non ho capito male si tratta di definire la relazione di divisibilità: un intero [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex] divide un intero [tex]a \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \exists b \in \mathbb{Z} | a=b \cdot n[/tex].
Sempre che sia quello che ti serve...
Sempre che sia quello che ti serve...
Ciao grazie per la risposta!
In realtà guardavo a come vengono dedotti i criteri di divisibilità per 2, 5 o 9.
Ad esempio il criterio di divisibilità per 9 in \(\mathbb{Z}_9\) sarebbe:
con \([10] = [1]\)
\([k] = [X_1 ⋅10^{s-1} + X_2 ⋅10^{s-2} + ..... + X_{s − 1}⋅10 + X_s] =\) \(= [X_1 ]⋅[10]^{s−1} + [X_2]⋅[10]^{s−2} + .....+ [X_{s−1}]⋅[10]+ [X_s] =\) \(= [X_1 + X_2 + .....+ X_{s−1}⋅+ X_s ]⋅[10]+ [X_s] =\)
\(= [X_1 + X_2 + .....+ X_{s−1} + X_s ] \)
E da qui si deduce che un numero k è divisibile per 9 se e solo se lo è la somma delle sue cifre.
Io volevo capire se si può fare un ragionamento simile anche per numeri piu' grandi, ho pensato per esempio che 125 non è altro che \(5^3\), quindi magari si può ragionare in termini di divisibilità per 5 in qualche modo, è solo che non capisco come formalizzare il ragionamento! A mente lo so anche fare (i numeri divisibili per 125 sono quelli che hanno le ultime 3 cifre divisibili per 125, però non riesco a spiegarlo logicamente!)
Grazie!
In realtà guardavo a come vengono dedotti i criteri di divisibilità per 2, 5 o 9.
Ad esempio il criterio di divisibilità per 9 in \(\mathbb{Z}_9\) sarebbe:
con \([10] = [1]\)
\([k] = [X_1 ⋅10^{s-1} + X_2 ⋅10^{s-2} + ..... + X_{s − 1}⋅10 + X_s] =\) \(= [X_1 ]⋅[10]^{s−1} + [X_2]⋅[10]^{s−2} + .....+ [X_{s−1}]⋅[10]+ [X_s] =\) \(= [X_1 + X_2 + .....+ X_{s−1}⋅+ X_s ]⋅[10]+ [X_s] =\)
\(= [X_1 + X_2 + .....+ X_{s−1} + X_s ] \)
E da qui si deduce che un numero k è divisibile per 9 se e solo se lo è la somma delle sue cifre.
Io volevo capire se si può fare un ragionamento simile anche per numeri piu' grandi, ho pensato per esempio che 125 non è altro che \(5^3\), quindi magari si può ragionare in termini di divisibilità per 5 in qualche modo, è solo che non capisco come formalizzare il ragionamento! A mente lo so anche fare (i numeri divisibili per 125 sono quelli che hanno le ultime 3 cifre divisibili per 125, però non riesco a spiegarlo logicamente!)
Grazie!
"ndrels":Il motivo è semplice: $1000-=0 (mod 125)$ (*)
(i numeri divisibili per 125 sono quelli che hanno le ultime 3 cifre divisibili per 125, però non riesco a spiegarlo logicamente!)
Divisione euclidea di un generico numero intero per $1000$
$AA a in ZZ \quad EE! q in ZZ, \quad EE! r in {0,1,2,...,999}$ tali che $a = 1000*q +r$
Notiamo che $r$ rappresenta le ultime 3 cifre di $a$.
Per (*) si ha che $a = 1000q+r -= r (mod 125)$, quindi $a$ è divisibile per $125$ se e solo se lo è $r$.
Grazie per la risposta! Ammetto che non mi è chiarissimo..
Quale punto non ti è chiaro?
Ti faccio un esempio: $a= 742340845$.
Si ha che $a= 742340*1000+845$, dunque $q= 742340$ e $r=845$
In $ZZ_{125}$ si ha $[1000]=[0]$, dunque $[a]= [742340][1000] +[845]= [0]+[845]=[845]$
Ti faccio un esempio: $a= 742340845$.
Si ha che $a= 742340*1000+845$, dunque $q= 742340$ e $r=845$
In $ZZ_{125}$ si ha $[1000]=[0]$, dunque $[a]= [742340][1000] +[845]= [0]+[845]=[845]$
che essendo diverso da \([0]\) ovviamente non è divisibile per \(125\) ... più che altro all'inizio ero perplesso dall'utilizzo di \(1000\) come dividendo, poi ho capito che era logico dato che si trattava di trovare un criterio di divisibilità per un numero a 3 cifre.. ciò che mi chiedo ora però è se sia applicabile a qualsiasi numero, per esempio con \(140\) sarebbe \([1000] \equiv [20]\) in questo caso come si procede?
Grazie mille!
Grazie mille!
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