Criteri di divisibilità
a tutti noi dalle elementari è noto il famoso criterio d divisibilità per 3: ma lo sapete dimostrare???
Risposte
Poniamo b=10 e rappresentiamo il numero
generico a nella base b:
a=R0+R1*b+R2*b^2+....+Rn*b^n
(Da questo momento in poi il segno "= " sta
per "congruente").
Abbiamo:
b=1 mod (b-1)
Elevando alla generica potenza p:
b^p=1 mod (b-1)
e moltiplicando per Rp:
Rp*b^p=Rp mod (b-1)
Facendo variare p da 0 ad n e sommando
membro a membro tutte le congruenze cos' ottenute:
R0+R1*b+R2*b^2+...+Rn*b^n=R0+R1+R2+...+Rn mod(b-1)
ovvero:
a=R0+R1+R2+...+Rn mod (b-1)
Pertanto un numero (rappresentato in base 10) e'
divisibile per 9 se lo e' la somma delle sue cifre.
Osservamo ora che 3 e' un divisore di 9 e quindi
e' pure:
a=R0+R1+R2+...+Rn mod (3)
e da cio ' segue che quanto detto per la divisibilita'
per 9 puo' dirsi anche per la divisibilita' per 3.
N.B. Cio' che precede vale anche se b e' un base generica
ed il numero "a" viene rappresentato in questa base.
karl.
generico a nella base b:
a=R0+R1*b+R2*b^2+....+Rn*b^n
(Da questo momento in poi il segno "= " sta
per "congruente").
Abbiamo:
b=1 mod (b-1)
Elevando alla generica potenza p:
b^p=1 mod (b-1)
e moltiplicando per Rp:
Rp*b^p=Rp mod (b-1)
Facendo variare p da 0 ad n e sommando
membro a membro tutte le congruenze cos' ottenute:
R0+R1*b+R2*b^2+...+Rn*b^n=R0+R1+R2+...+Rn mod(b-1)
ovvero:
a=R0+R1+R2+...+Rn mod (b-1)
Pertanto un numero (rappresentato in base 10) e'
divisibile per 9 se lo e' la somma delle sue cifre.
Osservamo ora che 3 e' un divisore di 9 e quindi
e' pure:
a=R0+R1+R2+...+Rn mod (3)
e da cio ' segue che quanto detto per la divisibilita'
per 9 puo' dirsi anche per la divisibilita' per 3.
N.B. Cio' che precede vale anche se b e' un base generica
ed il numero "a" viene rappresentato in questa base.
karl.
nn c'era mica bisogno d passare per la base 9!
dimostarre il criterio d divisibilità x 11..
Per Ramo82.
Se si chiede di rispondere ad un quesito
occorre accettare la risposta ottenuta
(specie se questa e' esatta),senza aspettarsi
che l'interlocutore dia proprio quella che
si ha in mente.
In alternativa si espone la propria e la si
confronta con quelle ricevute, eventualmente
confutandole.
E' esattamente cio' che ha fatto Ubermensch
nel topic sul quoziente ed il resto della divisione.
E' a tutti noto che un problema di matematica
(o di qualunque altra cosa) ha spesso un
numero finito di soluzioni ma raramente esiste
una sola strada per arrivare a queste.
Personalmente conosco perlomeno altri 3 0 4
modi diversi di dimostrare particolari criteri
di divisibilita'.
karl.
Se si chiede di rispondere ad un quesito
occorre accettare la risposta ottenuta
(specie se questa e' esatta),senza aspettarsi
che l'interlocutore dia proprio quella che
si ha in mente.
In alternativa si espone la propria e la si
confronta con quelle ricevute, eventualmente
confutandole.
E' esattamente cio' che ha fatto Ubermensch
nel topic sul quoziente ed il resto della divisione.
E' a tutti noto che un problema di matematica
(o di qualunque altra cosa) ha spesso un
numero finito di soluzioni ma raramente esiste
una sola strada per arrivare a queste.
Personalmente conosco perlomeno altri 3 0 4
modi diversi di dimostrare particolari criteri
di divisibilita'.
karl.
Non espongo il criterio di divisibilita'
per 11 per evitarti la fatica di rispondermi
....che si poteva fare in un altro modo.
Saluti da karl.
per 11 per evitarti la fatica di rispondermi
....che si poteva fare in un altro modo.
Saluti da karl.
nn ho detto che nn andava bene la tua dimostrazione ma solo il fatto che secondo me era meglio dimostrarlo indipendentemente dal criterio d divisibilità x 9.. a me sembra che sia tu a nn accettare l'opinione altrui...
Non e' che non accetto la tua opinione:il fatto
e' che questa non la vedo proprio, a meno di
non considerare tale un semplice"si poteva fare
altrimenti".Posta la tua dimostrazione ed io saro'
ben lieto di studiarla:sono su questo forum anche e
soprattutto per imparare.
Saluti da karl.
e' che questa non la vedo proprio, a meno di
non considerare tale un semplice"si poteva fare
altrimenti".Posta la tua dimostrazione ed io saro'
ben lieto di studiarla:sono su questo forum anche e
soprattutto per imparare.
Saluti da karl.
probabilmente hai ragione...il mio messaggio era fraintendibile...questo è xchè ovviamente se leggi qlcs nn sai mai con che tono t è stata "detta"..
la mia dimostrazione è molto semplice:
an ... a2 a1 a0 = an*10^n + ... + a2*10^2 + a1*10^1 + a0*10^0
passando alle congruenze
[an ... a2 a1 a0] = [an]*[10^n] + ... + [a2]*[10^2] + [a1]*[10^1] + [a0]*[10^0] (*)
ora 10 è congruo a 1 modulo 3
10*10 è congruo a 1*1=1 modulo 3
10*10*10 idem
....
10^k è congruo a 1 modulo 3 per ogni k naturale
la (*) pertanto diventa
[an ... a2 a1 a0] = [an] + ... + [a2] + [a1] + [a0]
per cui un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è congrua a 0 modulo 3 ossia se la somma delle sue cifre è divisibile per 3
la mia dimostrazione è molto semplice:
an ... a2 a1 a0 = an*10^n + ... + a2*10^2 + a1*10^1 + a0*10^0
passando alle congruenze
[an ... a2 a1 a0] = [an]*[10^n] + ... + [a2]*[10^2] + [a1]*[10^1] + [a0]*[10^0] (*)
ora 10 è congruo a 1 modulo 3
10*10 è congruo a 1*1=1 modulo 3
10*10*10 idem
....
10^k è congruo a 1 modulo 3 per ogni k naturale
la (*) pertanto diventa
[an ... a2 a1 a0] = [an] + ... + [a2] + [a1] + [a0]
per cui un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è congrua a 0 modulo 3 ossia se la somma delle sue cifre è divisibile per 3
Ok!Una convincente dimostrazione.
karl.
karl.
dato che ci state:
dimostrare che un numero è divisibile per 2^s se e solo se le sue ultime s cifre sono divisibili per 2^s;
trovare criteri analoghi per potenze di 5 e di 10.
p.s.
che c'entro karl?
Modificato da - ubermensch il 30/03/2004 20:37:33
dimostrare che un numero è divisibile per 2^s se e solo se le sue ultime s cifre sono divisibili per 2^s;
trovare criteri analoghi per potenze di 5 e di 10.
p.s.
E' esattamente cio' che ha fatto Ubermensch
nel topic sul quoziente ed il resto della divisione.
che c'entro karl?
Modificato da - ubermensch il 30/03/2004 20:37:33
Per Ubermensch.
Niente di particolare ,non ci pensare.
Vedo che stai percorrendo con entusiasmo
gli ardui sentieri della numerabilita' e
della logica.
Saluti da karl.
Niente di particolare ,non ci pensare.
Vedo che stai percorrendo con entusiasmo
gli ardui sentieri della numerabilita' e
della logica.
Saluti da karl.
pensavo avessi detto qualcosa che non andava in quel topic, ma rileggendolo non capivo cosa! 
la numerabilità è una delle tante cose che mi affascina!
ciao, ubermensch
la numerabilità è una delle tante cose che mi affascina!ciao, ubermensch
tornando al problema della divisibilità per 2^s basta osservare che la (s+1)esima cifra da destra as è moltiplicata per 10^s che è congruo a 0 mod 2^s;
(s+2)esima sarà moltiplicata per 10*10^s che per quanto detto prima sarà anch'esso congruo a 0;
in generale la (s+k)esima con k>=1 sarà moltiplicata per 10^(k-1)*10^s che è congruo a 0.
pertanto
[an ...as a(s-1)... a1 a0]= [a(s-1)][10^(s-1)]+...+[a2][10^2]+[a1][10]+[a0]= [a(s-1)... a1 a0] mod 2^s
tralascio il viceversa..
(s+2)esima sarà moltiplicata per 10*10^s che per quanto detto prima sarà anch'esso congruo a 0;
in generale la (s+k)esima con k>=1 sarà moltiplicata per 10^(k-1)*10^s che è congruo a 0.
pertanto
[an ...as a(s-1)... a1 a0]= [a(s-1)][10^(s-1)]+...+[a2][10^2]+[a1][10]+[a0]= [a(s-1)... a1 a0] mod 2^s
tralascio il viceversa..
dimenticavo: analogamente si dimostra che un numero è divisibile per 5^s o per 10^s se lo sono le sue ultime s cifre
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