Costruzioni con riga e compasso
non riesco a capire che cosa si intenda per costruzione di un poligono regolare inscritto con riga e compasso.
Per il pentagono e l'ettagono esistono delle costruzioni geometriche che utilizzano soltanto riga e compasso ma vengono definite nei libri di testo non del tutto precise dal punto di vista matematico In che senso?
Per il pentagono e l'ettagono esistono delle costruzioni geometriche che utilizzano soltanto riga e compasso ma vengono definite nei libri di testo non del tutto precise dal punto di vista matematico In che senso?
Risposte
al sito di wikipedia c'ero arrivato pure io. Non riesco a capire quali sono le operazioni illecite nella costruzione
dell'ettagono data la circonferenza?! Non mi sembra che vadano in contrasto con i postulati di Euclide presentati
su wikipedia!
dell'ettagono data la circonferenza?! Non mi sembra che vadano in contrasto con i postulati di Euclide presentati
su wikipedia!
"Simone Masini":
al sito di wikipedia c'ero arrivato pure io. Non riesco a capire quali sono le operazioni illecite nella costruzione
dell'ettagono data la circonferenza?! Non mi sembra che vadano in contrasto con i postulati di Euclide presentati
su wikipedia!
Altrove su Wikipedia (la pagina sull'ettagono): Un ettagono regolare non è costruibile con riga e compasso ma è costruibile con un righello graduato e compasso
Ho trovato questo:
We shall now investigate the case for $n = 7$.
The Greeks and succeeding mathematicians tried to construct a regular heptagon (7-sided polygon) but with no success.
It was especially frustrating since regular polygons of $3, 4, 5, 6, 8, 10$ sides could be constructed.
Why not 7 or 9?
To answer that question, let us start with a 7th root of unity, $R = cos((2pi)/7)+isin((2pi)/7)$.
Then the cyclotomic equation becomes $(R^7-1)/(R-1)=R^6 + R^5 + R^4 + R^3 + R^2 + R + 1 = 0$.
The above cyclotomic equation leads to an irreducible cubic equation.
Therefore, a reqular heptagon cannot be constructed.
To show this we pair the roots as follows:
$y_1 = R+1/R = R + R^6 = 2 cos((2pi)/7)$
$y_2 = R^2+1/R^2 = R^2 + R^5$
$y_3 = R^3+1/R^3 = R^3 + R^4$
then $y_1+y_2+y_3 = R + R^2 + R^3 + R^4 + R^5 + R^6 = -1$,
similarly
$y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=(R^3+R+R^6+R^4)+(R^4+R^2+R^5+ R^3)+(R^5+R+R^6+R^2)$
$y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3= -2$ and $y_1y_2y_3=1$.
Therefore $y_1, y_2, y_3$ satisfy the equation $y^3 + y^2 - 2y -1 = 0$.
The only rational roots of this cubic are integers which are divisor's of 1.
However, neither $+1$ nor $-1$ is a root of this equation.
Therefore, it is an irreducible cubic and its roots cannot be constructed.
Thus, $y_1= 2[cos ((2pi)/7)]$ cannot be constructed, and it is not possible to construct a regular polygon of 7 sides.
Just as Archimedes described a method for trisecting an angle using a pair of compasses and a straight edge with two marks on it, so he gave a most ingenious method for constructing a regular heptagon using the same instruments.
We shall now investigate the case for $n = 7$.
The Greeks and succeeding mathematicians tried to construct a regular heptagon (7-sided polygon) but with no success.
It was especially frustrating since regular polygons of $3, 4, 5, 6, 8, 10$ sides could be constructed.
Why not 7 or 9?
To answer that question, let us start with a 7th root of unity, $R = cos((2pi)/7)+isin((2pi)/7)$.
Then the cyclotomic equation becomes $(R^7-1)/(R-1)=R^6 + R^5 + R^4 + R^3 + R^2 + R + 1 = 0$.
The above cyclotomic equation leads to an irreducible cubic equation.
Therefore, a reqular heptagon cannot be constructed.
To show this we pair the roots as follows:
$y_1 = R+1/R = R + R^6 = 2 cos((2pi)/7)$
$y_2 = R^2+1/R^2 = R^2 + R^5$
$y_3 = R^3+1/R^3 = R^3 + R^4$
then $y_1+y_2+y_3 = R + R^2 + R^3 + R^4 + R^5 + R^6 = -1$,
similarly
$y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=(R^3+R+R^6+R^4)+(R^4+R^2+R^5+ R^3)+(R^5+R+R^6+R^2)$
$y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3= -2$ and $y_1y_2y_3=1$.
Therefore $y_1, y_2, y_3$ satisfy the equation $y^3 + y^2 - 2y -1 = 0$.
The only rational roots of this cubic are integers which are divisor's of 1.
However, neither $+1$ nor $-1$ is a root of this equation.
Therefore, it is an irreducible cubic and its roots cannot be constructed.
Thus, $y_1= 2[cos ((2pi)/7)]$ cannot be constructed, and it is not possible to construct a regular polygon of 7 sides.
Just as Archimedes described a method for trisecting an angle using a pair of compasses and a straight edge with two marks on it, so he gave a most ingenious method for constructing a regular heptagon using the same instruments.
Per costruzione con riga e compasso secondo Euclide si intendono le costruzioni fatte con un righello senza misure e un compasso incapace di mantenere le aperture.
Quindi già se usi strumenti tipo il righello con le misure e/o il compasso che fissa le aperture, la costruzione non va bene.
Usando questo strumenti il poligono lo costruisci pure ma di commettono degli errori che non rendono esatta la costruzione.
Esempio: https://www.google.com/url?sa=t&source= ... PkdxXFzGlT
Quindi già se usi strumenti tipo il righello con le misure e/o il compasso che fissa le aperture, la costruzione non va bene.
Usando questo strumenti il poligono lo costruisci pure ma di commettono degli errori che non rendono esatta la costruzione.
Esempio: https://www.google.com/url?sa=t&source= ... PkdxXFzGlT
"G.D.":
... e un compasso incapace di mantenere le aperture. ...
Questa cosa non l'ho mai capita ... se così fosse come può tracciare un cerchio? C'è qualcosa che non mi torna ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="G.D."]... e un compasso incapace di mantenere le aperture. ...
Questa cosa non l'ho mai capita ... se così fosse come può tracciare un cerchio? C'è qualcosa che non mi torna ...
Cordialmente, Alex[/quote]
Immagino che voglia dire che puoi usarlo per tracciare un cerchio, ma dopo devi subito richiuderlo.
Il compasso non deve mantenere l'apertura dopo aver tracciato la circonferenza. Questo compasso è il compasso molle. Ed è quello che si dovrebbe usare. Il compasso rigido mantiene l'apertura anche dopo aver tracciato la circonferenza. Il problema del compasso rigido non è tanto legato al tracciare le circonferenze ma è legato al fatto che mantenendo l'apertura permette in pratica di riportare le misure.
"G.D.":
Il problema del compasso rigido non è tanto legato al tracciare le circonferenze ma è legato al fatto che mantenendo l'apertura permette in pratica di riportare le misure.
Questo mi era chiaro, se rimane rigido e mantiene la misura è come avere un righello con i marcatori.
Quello che non capisco credo che sia solo un fatto fisico ovvero se il compasso molle (gli inglesi mi pare che lo chiamino anche "collassabile") non può mantenere l'apertura costante, come può tracciare un cerchio? Impossibile.
A meno che la differenza tra i due sia solo concettuale e non reale, cioè il compasso è solo uno, che chiudo o tengo aperto a seconda del "nome" e dell'uso che ne faccio. È così?
Cordialmente, Alex
Il compasso mantiene l'apertura solo mentre traccia la circonferenza. Una volta che lo stacchi dal foglio, perde l'apertura.
In ogni caso il problema non è nel tracciare le circonferenze, giacché si può anche usare un compasso rigido (cioè uno che mantiene l'apertura anche staccato dal foglio), infatti si può mostrare quanto: dati nel piano un punto e un segmento al quale il punto non appartiene, è possibile costruire con riga (non graduata) e compasso (molle) una circonferenza di centro quel punto e raggio quel segmento passando attraverso la costruzione delle parallele che permettono di "spostare" il segmento in questione e puntando poi nel punto con apertura pari al segmento spostato, sicché l'uso del compasso rigido è a questo punto lecito e si può con esso prendere l'apertura pari al segmento, staccarlo dal foglio, puntare nel punto e tracciare. Il problema è rappresentato dall'abuso del compasso rigido: a furia di prendere le aperture e mantenerle, come hai già detto e come è facile intuire, si finisce con l'avere a disposizione la parte che manca per fare del righello un righello graduato e a quel punto buona notte! Il gioco è proprio quello di riuscirci senza prendere le misure!
Quindi nella fattispecie dell'ettagono il problema è duplice: da un lato la costruzione scelta potrebbe violare le regole del gioco, dall'altro anche se non lo facesse, l'ettagono non sarebbe veramente regolare, anche al netto degli errori di misura dovuti alla componente "fisica" della costruzione.
In ogni caso il problema non è nel tracciare le circonferenze, giacché si può anche usare un compasso rigido (cioè uno che mantiene l'apertura anche staccato dal foglio), infatti si può mostrare quanto: dati nel piano un punto e un segmento al quale il punto non appartiene, è possibile costruire con riga (non graduata) e compasso (molle) una circonferenza di centro quel punto e raggio quel segmento passando attraverso la costruzione delle parallele che permettono di "spostare" il segmento in questione e puntando poi nel punto con apertura pari al segmento spostato, sicché l'uso del compasso rigido è a questo punto lecito e si può con esso prendere l'apertura pari al segmento, staccarlo dal foglio, puntare nel punto e tracciare. Il problema è rappresentato dall'abuso del compasso rigido: a furia di prendere le aperture e mantenerle, come hai già detto e come è facile intuire, si finisce con l'avere a disposizione la parte che manca per fare del righello un righello graduato e a quel punto buona notte! Il gioco è proprio quello di riuscirci senza prendere le misure!
Quindi nella fattispecie dell'ettagono il problema è duplice: da un lato la costruzione scelta potrebbe violare le regole del gioco, dall'altro anche se non lo facesse, l'ettagono non sarebbe veramente regolare, anche al netto degli errori di misura dovuti alla componente "fisica" della costruzione.
Thanks 
Leggendo il Davenport ho trovato nel capitolo 3, intitolato "Cyclotomy" quanto segue. Forse ti può essere utile. Io onestamente non ho capito tutto appieno. Comunque sia se ti interessa questo argomento potresti voler approfondire. Il libro è "Multiplicative Number Theory" di Harold Davenport, Second Edition, Graduate Texts in Mathematics.
Guass's theorem asserts that if \(q\) is a prime of the form \( 2^k + 1 \), each \(q\)th root of unity can be expressed in terms of rational numbers by using a succession of square root signs. From this assertion, with a few supplementary observations, one deduces that, for the values of \(q\) in question, it is possible to inscribe a regualr polygon of \(q\) sides in a given circle by a Euclidean construction using ruler and compasses only.
Proof:
We consider the various choices of \(e\) and \(f\) that are possible
\[ e_1 = 2 \ \ \ \ \ f_1 = \frac{1}{2}(q-1) \]
\[ e_2 = 4 \ \ \ \ \ f_2 = \frac{1}{4}(q-1) \]
\[ e_k = 2^k \ \ \ \ \ f_k = \frac{1}{2^k}(q-1) \]
For the choice \(e_r\), there are \(e_r\) Gaussian periods of \(f_r\) terms, which we shall denote by
\[ \eta_1^{(r)} , \ldots , \eta_{e}^{(r)} \]
where \( e=e_r \) to indicate the dependence on \(r\). We have already evaluated the two periods \( \eta_1^{(1)} \) and \( \eta_2^{(2)} \) and they are \( \frac{1}{2} \left(-1 \pm \sqrt{q'} \right) \), where \(q'=q \) if \( q \equiv 1 \mod 4 \) and \( q' = -q \) if \( q \equiv 3 \mod 4 \). The latter cannot happen if \(q > 3 \).
Now consider the four periods \( \eta_1^{(2)}, \eta_2^{(2)} ,\eta_3^{(2)}, \eta_4^{(2)} \). By definition
\[ \eta_j^{(2)} = \sum_{v(n) \equiv j \mod 4} \zeta^{n} \]
The expression
\[ (x- \eta_1^{(2)} ) ( x- \eta_3^{(2)} ) \]
considered as a polynomial in \( \zeta \), is unaltered if we replace \( \zeta \) by \( \zeta^m \), provided \( v(m) \equiv 0 \mod 2 \), for the effect of this is either to leave \( \eta_1^{(2)} \) and \( \eta_3^{(2)} \) unchanged or to interchange them. Hence, by our earlier result,
\[ (x- \eta_1^{(2)} ) ( x- \eta_3^{(2)} ) = A_1(x)\eta_1^{(1)} + A_2(x) \eta_2^{(1)} \]
where \(A_1(x) ,A_2(x) \) have integral coefficients. It follow that the coefficients of the quadratic in \(x\) on the left are expressible by rational numbers and \( \sqrt{q'} \). Hence \( \eta_1^{(2)} , \eta_3^{(2)} \) are expressible by means of two square root signs, and similarly for \( \eta_2^{(2)} , \eta_4^{(2)} \).
The argument continues; at the next step, the eight periods fall into the four groups:
\[ \eta_1^{(3)} , \eta_5^{(3)} ; \eta_2^{(3)} , \eta_6^{(3)} ; \eta_3^{(3)} , \eta_7^{(3)} ; \eta_4^{(3)} , \eta_8^{(3)} \]
and the two in each group can be evaluated in terms of the four periods \( \eta_j^{(2)} \) by use of another square root sign. Finally, we come to the \(2^k \) periods of one term; these are just \( \zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^{q-1} \). Thus each of these is expressible by means of rational numbers and \(k\) square root signs. The \(k\) ambiguities of sign attaching to the square roots give the \(2^k(=q-1) \) roots of unity.
This proves Gauss's theorem in its first form. For the inscription of a regular polygon of \(q\) sides in a circle, it suffices to have the number \( \cos 2 \pi /q \), which determines the first point of sub-division of the circle. Now
\[ 2 \cos 2 \pi /q = \zeta + \zeta^{-1} \]
and this is one of the periods of two terms which arise at the penultimate stage of the preceding construction, for then \(e= 2^{ k-1} = \frac{1}{2}(q-1) \), and the exponents \(1\) and \(-1\) on the right above are just the values of \(n \) for which the index \(v(n) \) is divisible by \(e\). Thus we can construct the length \(2 \cos 2 \pi /q \) from a unit length by solving a succession of quadratic equations. But in order that this construction shall be capable of realization geometrically, it is necessary that all the quadratic equations shall have real roots. Thus we need to know that all the periods \( \eta_j^{(r)} \), with \( r \leq k -1 \), are real.
This is in fact the case. For if \( \eta \) is one such period, then \( \overline{\eta} \) is obtained from \( \eta \) by changing \( \zeta \) into \( \zeta^{-1} \), and this has the effect of replacing \( v(n) \) by \( v(-n) \). Now \(g^{2^{k-1}} = g^{ \frac{1}{2}(q-1)} \equiv -1 \mod q \), and therefore \( v(-1) = 2^{k-1} \), and so is divisible by \(e\) for each of the values \(e=2,4,\ldots, 2^{k-1} \). Hence the condition of summation \( v(n) \equiv j \mod e \) is unaltered if \(v(n) \) is replaced by \(v(-n) \), and therefore \( \eta = \overline{\eta} \), that is, \( \eta \) is real.
Guass's theorem asserts that if \(q\) is a prime of the form \( 2^k + 1 \), each \(q\)th root of unity can be expressed in terms of rational numbers by using a succession of square root signs. From this assertion, with a few supplementary observations, one deduces that, for the values of \(q\) in question, it is possible to inscribe a regualr polygon of \(q\) sides in a given circle by a Euclidean construction using ruler and compasses only.
Proof:
We consider the various choices of \(e\) and \(f\) that are possible
\[ e_1 = 2 \ \ \ \ \ f_1 = \frac{1}{2}(q-1) \]
\[ e_2 = 4 \ \ \ \ \ f_2 = \frac{1}{4}(q-1) \]
\[ e_k = 2^k \ \ \ \ \ f_k = \frac{1}{2^k}(q-1) \]
For the choice \(e_r\), there are \(e_r\) Gaussian periods of \(f_r\) terms, which we shall denote by
\[ \eta_1^{(r)} , \ldots , \eta_{e}^{(r)} \]
where \( e=e_r \) to indicate the dependence on \(r\). We have already evaluated the two periods \( \eta_1^{(1)} \) and \( \eta_2^{(2)} \) and they are \( \frac{1}{2} \left(-1 \pm \sqrt{q'} \right) \), where \(q'=q \) if \( q \equiv 1 \mod 4 \) and \( q' = -q \) if \( q \equiv 3 \mod 4 \). The latter cannot happen if \(q > 3 \).
Now consider the four periods \( \eta_1^{(2)}, \eta_2^{(2)} ,\eta_3^{(2)}, \eta_4^{(2)} \). By definition
\[ \eta_j^{(2)} = \sum_{v(n) \equiv j \mod 4} \zeta^{n} \]
The expression
\[ (x- \eta_1^{(2)} ) ( x- \eta_3^{(2)} ) \]
considered as a polynomial in \( \zeta \), is unaltered if we replace \( \zeta \) by \( \zeta^m \), provided \( v(m) \equiv 0 \mod 2 \), for the effect of this is either to leave \( \eta_1^{(2)} \) and \( \eta_3^{(2)} \) unchanged or to interchange them. Hence, by our earlier result,
\[ (x- \eta_1^{(2)} ) ( x- \eta_3^{(2)} ) = A_1(x)\eta_1^{(1)} + A_2(x) \eta_2^{(1)} \]
where \(A_1(x) ,A_2(x) \) have integral coefficients. It follow that the coefficients of the quadratic in \(x\) on the left are expressible by rational numbers and \( \sqrt{q'} \). Hence \( \eta_1^{(2)} , \eta_3^{(2)} \) are expressible by means of two square root signs, and similarly for \( \eta_2^{(2)} , \eta_4^{(2)} \).
The argument continues; at the next step, the eight periods fall into the four groups:
\[ \eta_1^{(3)} , \eta_5^{(3)} ; \eta_2^{(3)} , \eta_6^{(3)} ; \eta_3^{(3)} , \eta_7^{(3)} ; \eta_4^{(3)} , \eta_8^{(3)} \]
and the two in each group can be evaluated in terms of the four periods \( \eta_j^{(2)} \) by use of another square root sign. Finally, we come to the \(2^k \) periods of one term; these are just \( \zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^{q-1} \). Thus each of these is expressible by means of rational numbers and \(k\) square root signs. The \(k\) ambiguities of sign attaching to the square roots give the \(2^k(=q-1) \) roots of unity.
This proves Gauss's theorem in its first form. For the inscription of a regular polygon of \(q\) sides in a circle, it suffices to have the number \( \cos 2 \pi /q \), which determines the first point of sub-division of the circle. Now
\[ 2 \cos 2 \pi /q = \zeta + \zeta^{-1} \]
and this is one of the periods of two terms which arise at the penultimate stage of the preceding construction, for then \(e= 2^{ k-1} = \frac{1}{2}(q-1) \), and the exponents \(1\) and \(-1\) on the right above are just the values of \(n \) for which the index \(v(n) \) is divisible by \(e\). Thus we can construct the length \(2 \cos 2 \pi /q \) from a unit length by solving a succession of quadratic equations. But in order that this construction shall be capable of realization geometrically, it is necessary that all the quadratic equations shall have real roots. Thus we need to know that all the periods \( \eta_j^{(r)} \), with \( r \leq k -1 \), are real.
This is in fact the case. For if \( \eta \) is one such period, then \( \overline{\eta} \) is obtained from \( \eta \) by changing \( \zeta \) into \( \zeta^{-1} \), and this has the effect of replacing \( v(n) \) by \( v(-n) \). Now \(g^{2^{k-1}} = g^{ \frac{1}{2}(q-1)} \equiv -1 \mod q \), and therefore \( v(-1) = 2^{k-1} \), and so is divisible by \(e\) for each of the values \(e=2,4,\ldots, 2^{k-1} \). Hence the condition of summation \( v(n) \equiv j \mod e \) is unaltered if \(v(n) \) is replaced by \(v(-n) \), and therefore \( \eta = \overline{\eta} \), that is, \( \eta \) is real.
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