Costruzione di applicazioni biettive

[davi2892]

Salve ragazzi...il mio prof di Algebra usa ricorrentemente un metodo per costruire applicazioni biettive e ne vorrei capire il significato. Se per esempio io ho due insiemi S e T lui trova due applicazioni iniettive con codominio T e i domini delle due applicazioni, se uniti, formano una partizione di S(Per esempio una ha dominio S\X e l'altra ha dominio X). Allora lui incolla le due applicazioni unendo i domini e lasciando inalterato il codominio. Poi conclude dicendo che le immagini di S\X e di X generano una partizione del codominio e quindi l'applicazione ottenuta è sicuramente biettiva.
Qualcuno sa spiegarmi il perchè di tutto questo?

[perplesso1]

Poi conclude dicendo che le immagini di S\X e di X generano una partizione del codominio

Secondo me questo non è sempre vero, dipende dalle applicazioni che scegli. Se riesci a ottenere due applicazioni tali che:

$ f : (X \subset S) \rightarrow T $ iniettiva

$ g: (S\\X) \rightarrow (T \\ f(X)) $ biettiva

allora si, se le incolli la funzione risultante

$ h: x \in S \rightarrow ( (f(x), se, x \in X ), (g(x),se, x in S\\X ) ) \in f(X) \cup (T\\f(X)) = T $

è iniettiva perche $ f $ e $ g $ lo sono ed è surriettiva perchè $ f(X) \cup (T\\f(X)) = T $