Cos'è una serie di Hurwitz?
Ho un problema con questa definizione:
(src: Joyal, André. Une théorie combinatoire des séries formelles. Advances in mathematics 42.1 (1981): 1-82.; pagina 8, inizio della §2)
In particolare: $R$ non può avere caratteristica positiva, perché $n!$ non è sempre invertibile in caratteristica positiva (in effetti, è vera una cosa drammatica: se la caratteristica di $R$ è $d$, \(d! \cdot 1_R\) non può essere un'unità...)
Poi, perché si chiamano "serie di Hurwitz"? Astraendo dalla definizione per polinomi, una serie di Hurwitz è una serie formale \(f \in \mathbb R[\![ t]\!]\) con la proprietà che tutti i suoi zeri abbiano parte reale non positiva. Altre fonti definiscono una "serie di Hurwitz" semplicemente come una qualsiasi serie formale.
(src: Joyal, André. Une théorie combinatoire des séries formelles. Advances in mathematics 42.1 (1981): 1-82.; pagina 8, inizio della §2)
In particolare: $R$ non può avere caratteristica positiva, perché $n!$ non è sempre invertibile in caratteristica positiva (in effetti, è vera una cosa drammatica: se la caratteristica di $R$ è $d$, \(d! \cdot 1_R\) non può essere un'unità...)
Poi, perché si chiamano "serie di Hurwitz"? Astraendo dalla definizione per polinomi, una serie di Hurwitz è una serie formale \(f \in \mathbb R[\![ t]\!]\) con la proprietà che tutti i suoi zeri abbiano parte reale non positiva. Altre fonti definiscono una "serie di Hurwitz" semplicemente come una qualsiasi serie formale.
Risposte
Secondo me l'unica cosa non chiara è cosa sono quei $a_n$, perchè non lo dice, per il resto è una serie formale, non è che devi fare veramente quelle operazioni, quindi $n!$ può essere anche non invertibile (a meno che dopo non dice espressamente che si fanno veramente quelle operazioni in qualche senso).
Perchè si chiama così non lo so, fossi in te la prenderei così com'è e basta questa definizione.
P.S. Poi è in francese, che non so, quindi potrei aver frainteso qualcosa.
Perchè si chiama così non lo so, fossi in te la prenderei così com'è e basta questa definizione.
P.S. Poi è in francese, che non so, quindi potrei aver frainteso qualcosa.
Lo dice: \(a_n \in R\). Poi non ho capito: se \(n!\) non è invertibile, che senso ha il coefficiente \(\frac{a_n}{n!}\) della serie formale?
Le serie formali sono semplicemente una notazione, del tipo "la successione $(a_1,a_2,a_3,...)$, invece di scriverla così la scriviamo $\sum_(n>=0)a_nx^n/(n!)$". Non devi pensare che quelle operazioni vadano fatte, a meno che come dicevo prima l'autore vuole proprio darci un senso e lo deve dire lui esplicitamente.
Beh, chiaramente no: per me se scrivi \(\sum \frac{a_n}{n!} x^n\) dici una cosa precisa, diversa da \(\sum a_n x^n\); sono d'accordo che in entrambi i casi uno possa vedere le serie formali come semplicemente l'insieme \(\mathbb N \to R\) con la somma puntuale e il prodotto di Cauchy... ma è proprio questo prodotto di Cauchy ad essere diverso quando si moltiplicano tra loro \(\sum a_i x^i\) e \(\sum b_j x^j\), e quando invece di moltiplicano tra loro \(\sum \frac{a_i}{i!}x^i\) e \(\sum \frac{b_j}{j!} x^j\). Diverso in modo controllabile, a meno di un fattore moltiplicativo, tutto quello che vuoi; ma se la caratteristica di $R$ è positiva, quel fattore moltiplicativo è zero... Quindi sebbene i supporti insiemistici dell'uno e dell'altro anello siano gli stessi, le operazioni -che sono quello che conta- no, sono molto diverse.
Questo perché il fattore per cui dividi la successione generatrice di una serie formale non è scelto a caso, serve a "normalizzare" (in un qualche senso da stabilire) proprio il prodotto \(\sum \left( \sum_{p+q=n}a_pb_q\right)x^n\).
Quello che intendo è che qualsiasi espressione tu scelga per la successione, scritta come "sommatoria formale", questa deve tradursi nel modo in cui sono definite le operazioni di anello. Quindi la serie \({\bf a} \cdot {\bf b}\) deve potersi esprimere come \(\sum \frac{c_n}{n!}x^n\) per qualche successione \((c_0,c_1,\dots)\).
Allora, quando scrivi l'elemento \({\bf a} \in R[\![t]\!]\) come \(\sum \frac{a_n}{n!} x^n\), il prodotto con \({\bf b} = \sum \frac{a_m}{m!} x^m\) è la serie \((a_0b_0, a_1b_0 + a_0 b_1, ...)\) e in generale deve esistere \(c_n\) tale che \(\frac{c_n}{n!} = \sum_{p+q=n}\frac{a_pb_q}{p!q!}\), cioè \(c_n = \sum_{p=0}^n \binom np a_p b_{n-p}\)... se queste operazioni sono possibili. Altrimenti, questa scrittura non ha significato.
Questo perché il fattore per cui dividi la successione generatrice di una serie formale non è scelto a caso, serve a "normalizzare" (in un qualche senso da stabilire) proprio il prodotto \(\sum \left( \sum_{p+q=n}a_pb_q\right)x^n\).
Quello che intendo è che qualsiasi espressione tu scelga per la successione, scritta come "sommatoria formale", questa deve tradursi nel modo in cui sono definite le operazioni di anello. Quindi la serie \({\bf a} \cdot {\bf b}\) deve potersi esprimere come \(\sum \frac{c_n}{n!}x^n\) per qualche successione \((c_0,c_1,\dots)\).
Allora, quando scrivi l'elemento \({\bf a} \in R[\![t]\!]\) come \(\sum \frac{a_n}{n!} x^n\), il prodotto con \({\bf b} = \sum \frac{a_m}{m!} x^m\) è la serie \((a_0b_0, a_1b_0 + a_0 b_1, ...)\) e in generale deve esistere \(c_n\) tale che \(\frac{c_n}{n!} = \sum_{p+q=n}\frac{a_pb_q}{p!q!}\), cioè \(c_n = \sum_{p=0}^n \binom np a_p b_{n-p}\)... se queste operazioni sono possibili. Altrimenti, questa scrittura non ha significato.
"megas_archon":
Altrimenti, questa scrittura non ha significato.
È esattamente questo il punto. La scrittura non ha significato. Semplicemente se decidi di usare questa scrittura e non quella senza i fattoriali il prodotto lo definisci \(\sum_{n\geq 0} c_n\frac{x^n}{n!}\), con \(c_n = n!\sum_{p=0}^n \binom np a_p b_{n-p}\).
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