Corrispondenza di Galois

[Søren13]

Sto trovando parecchia difficoltà nel trovare a partire dal gruppo di Galois i corrispondenti campi intermedi.
Ad esempio, se L è il campo di spezzamento su Q di $x^4-2$ riesco a trovare l'ordine del gruppo di Galois che è otto, e il gruppo stesso a meno di isomorfismo cioè $D_8$, ma non riesco a trovare i campi intermedi corrispondenti a ciascun sottogruppo del gruppo di Galois. So che devono essere otto (parlando dei campi intermedi propri), che ce ne saranno cinque massimali e gli altri tre di grado inferiore ma uguale fra loro. Ma come faccio a trovare quali effettivamente siano?

[Studente Anonimo]

Chiamo $a$ la radice positiva quarta di $2$, allora $L = QQ(a,i)$. Gli zeri di $x^4-2$ sono $u_1=a$, $u_2=-a$, $u_3=ia$, $u_4=-ia$ e il coniugio (che certamente induce un automorfismo di $L$) fissa $a$ e $-a$ e scambia $u_3=ia$ con $u_4=-ia$, quindi corrisponde alla trasposizione $tau = (34)$. L'unico diedrale $D_8$ dentro $S_4$ che contiene $(34)$ è quello generato da $tau$ e $sigma = (1324)$, quindi il gruppo di Galois e' $G = $. Ora quello che devi fare è scrivere come gli elementi di $G$ agiscono su $a$ e $i$, e i sottogruppi di $G$ corrisponderanno agli intercampi fissati da tali sottogruppi.

Per esempio prendiamo $H = $, un sottogruppo di $G$ di ordine $4$ isomorfo a $C_2 xx C_2$. Abbiamo $sigma^2 = (12)(34)$ e $tau = (34)$ quindi $H = <(12),(34)>$. L'intercampo $K$ corrispondente al sottogruppo $H$ ha grado $2$ su $QQ$ (perché $H$ ha indice $2$ in $G$) e contiene elementi fissati da $(12)$ e da $(34)$, cioe' elementi invarianti rispetto a scambiare $a$ con $-a$ e $ia$ con $-ia$. Quindi per esempio e' charo che $a^2 in K$. D'altro canto $a^2=sqrt{2}$ ha grado $2$ su $QQ$, uguale al grado di $K$ su $QQ$, quindi dev'essere $K=QQ(sqrt{2})$. Devi fare questo lavoro con tutti i sottogruppi di $G$.