Contare sottogruppi di un certo ordine in un gruppo abeliano finito
Salve,
questa sera ho provato a contare i sottogruppi $H$ di $G = \mathbb{Z_30} xx \mathbb{Z_60}$ di ordine $100$. In questi esercizi non ho quasi mai la più pallida idea di come procedere, per cui improvviso: innanzitutto porto $G$ nella forma canonica delle $p-$torsioni: $G ∼ (\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4} ) xx (\mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_3}) xx (\mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5})$, noto che in $G$ non ci sono elementi né di ordine $100$ né di ordine $25$ dunque escludo a priori che ci siano sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_100}$ o che contengano $5-$torsioni isomorfe a $\mathbb{25}$, insomma se $H < G$ ha ordine $100$ allora o $H ∼ \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$ oppure $H ∼ \mathbb{Z_4} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$, chiaramente sottogruppi di questo tipo esistono: dalla forma canonica di $G$ è possibile trovare dei generatori che mi diano sottogruppi di ordine 100 isomorfi a quelli appena scritti; Ora:
questa sera ho provato a contare i sottogruppi $H$ di $G = \mathbb{Z_30} xx \mathbb{Z_60}$ di ordine $100$. In questi esercizi non ho quasi mai la più pallida idea di come procedere, per cui improvviso: innanzitutto porto $G$ nella forma canonica delle $p-$torsioni: $G ∼ (\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4} ) xx (\mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_3}) xx (\mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5})$, noto che in $G$ non ci sono elementi né di ordine $100$ né di ordine $25$ dunque escludo a priori che ci siano sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_100}$ o che contengano $5-$torsioni isomorfe a $\mathbb{25}$, insomma se $H < G$ ha ordine $100$ allora o $H ∼ \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$ oppure $H ∼ \mathbb{Z_4} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$, chiaramente sottogruppi di questo tipo esistono: dalla forma canonica di $G$ è possibile trovare dei generatori che mi diano sottogruppi di ordine 100 isomorfi a quelli appena scritti; Ora:
- [*:zljuzh16]Caso $H ∼ \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$: se ho fatto bene i conti gli elementi di ordine $2$ in $H$ sono $3$, quelli di ordine $5$ sono $24$ e quelli di ordine $10$ sono $62$, ma anche in $G$ ho tre elementi di ordine $2$, $24$ di ordine $5$ e $62$ di ordine $10$, quindi ho un unico sottogruppo di ordine $100$ di questo tipo;[/*:m:zljuzh16]
[*:zljuzh16]caso $H ∼ \mathbb{Z_4} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$, in questo caso ho $24$ elementi di ordine $5$ in $H$, $2$ elementi di ordine $4$ in $H$, $H$ contiene già tutti gli elementi di ordine $5$, mi devo chiedere allora quanti sono gli elementi di ordine $4$ in $G$, ebbene ne dovrebbero essere $4$, dunque ho $2$ sottogruppi($2$ perché il numero di sottogruppi ciclici di ordine $4$ è $\frac{4}{\phi(4)}$) di ordine $100$ isomorfi a $\mathbb{Z_4} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$[/*:m:zljuzh16][/list:u:zljuzh16]
Quindi in totale ho $3$ sottogruppi di ordine $100$ in $G$.
Che dite va bene? C'è un metodo generale, uno schema da seguire? Di solito per contare i sottogruppi di un gruppo abeliano è meglio usare la forma canonica con le $p-$torsioni oppure quella che "discende" dalla forma normale di Smith?
Risposte
In questi casi tornano utili i teoremi di Sylow: guardando ai sottogruppi di Sylow di un sottogruppo di ordine 100 ti accorgi che un sottogruppo di ordine 100 deve contenere il 5-Sylow $ZZ_5 xx ZZ_5$ di $G$ e un sottogruppo di $ZZ_2 xx ZZ_4$ di ordine $4$, quindi sei ridotto a contare i sottogruppi di ordine $4$ in $ZZ_2 xx ZZ_4$.
$ZZ_2 xx ZZ_4 = xx $ ha due sottogruppi ciclici di ordine $4$ (cioe $<(1,b)>$ e $<(a,b)>$) e uno non ciclico di ordine $4$ (cioe $ xx$) quindi in totale $3$.
$ZZ_2 xx ZZ_4 = xx $ ha due sottogruppi ciclici di ordine $4$ (cioe $<(1,b)>$ e $<(a,b)>$) e uno non ciclico di ordine $4$ (cioe $ xx
Grazie Martino! 
In sostanza per contare i sottogruppi di un certo numero basta contare i $p-$sottogruppi dei $p-$sylow del gruppo, chiaramente tenendo conto della loro struttura(se è ciclico o mento etc.), giusto?
Bene quindi che ne so, contiamo i sottogruppi $K$ di ordine $60$ in $G$(come sopra), $K$ può essere o ciclico o isomorfo a $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_5}$, facciamo i casi:
1)$K$ isomorfo a $\mathbb{Z_60} ∼ \mathbb{Z_4} xx \mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_5}$ allora in $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4}$ ho due sottogruppi di ordine $4$ ciclici, in $\mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_3}$ ho $\frac{8}{\phi(3)} = 4$ sottogruppi ciclici di ordine $3$, in $\mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$ ho $\frac{24}{\phi(5)} = 6$ sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_5}$, quindi in totale ho $2*4*6 = 48$ sottogruppi ciclici di ordine $60$;
2)$K ∼ \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_5}$, in questo caso di sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2}$(che sono contenuti in $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4}$) ne ho uno solo, mentre per gli $\mathbb{Z_3}$ e $\mathbb{Z_5}$ la situazione resta invariata, quindi in totale ho $1*4*6 = 24$ sottogruppi di ordine $60$ di questo tipo.
In totale ho quindi $72$ gruppi di ordine $60$in $G$, giusto?
Ciao!
In sostanza per contare i sottogruppi di un certo numero basta contare i $p-$sottogruppi dei $p-$sylow del gruppo, chiaramente tenendo conto della loro struttura(se è ciclico o mento etc.), giusto?
Bene quindi che ne so, contiamo i sottogruppi $K$ di ordine $60$ in $G$(come sopra), $K$ può essere o ciclico o isomorfo a $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_5}$, facciamo i casi:
1)$K$ isomorfo a $\mathbb{Z_60} ∼ \mathbb{Z_4} xx \mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_5}$ allora in $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4}$ ho due sottogruppi di ordine $4$ ciclici, in $\mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_3}$ ho $\frac{8}{\phi(3)} = 4$ sottogruppi ciclici di ordine $3$, in $\mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$ ho $\frac{24}{\phi(5)} = 6$ sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_5}$, quindi in totale ho $2*4*6 = 48$ sottogruppi ciclici di ordine $60$;
2)$K ∼ \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_5}$, in questo caso di sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2}$(che sono contenuti in $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4}$) ne ho uno solo, mentre per gli $\mathbb{Z_3}$ e $\mathbb{Z_5}$ la situazione resta invariata, quindi in totale ho $1*4*6 = 24$ sottogruppi di ordine $60$ di questo tipo.
In totale ho quindi $72$ gruppi di ordine $60$in $G$, giusto?
Ciao!
Sì giusto, anche se io la farei più semplice: $ZZ_4 xx ZZ_2$ ha $3$ sottogruppi di ordine $4$, $ZZ_3 xx ZZ_3$ ha $4$ sottogruppi di ordine $3$, $ZZ_5 xx ZZ_5$ ha $6$ sottogruppi di ordine $5$. Quindi in totale $G$ ha $3*4*6 = 72$ sottogruppi di ordine $4*3*5=60$.
Ciao,
sì hai ragione, la tua soluzione è migliore!
Ho altre due domande, magari vado ot:
1)se volessi contare i sottogruppi di un dato ordine di un gruppo non abeliano? Sì procede in modo "quasi identico"? Cioè conto i p-sottogruppi dei p-sylow e vedo se il loro prodotto è ancora un sylow? Anche se mi sembra molto molto più difficile perché potrebbero esserci più p-sylow!
2)L'altra forma canonica per i gruppi abeliani, cioè quella linkata nel primo post, in che contesto si usa?
Grazie per la disponibilità Martino!
sì hai ragione, la tua soluzione è migliore!
Ho altre due domande, magari vado ot:
1)se volessi contare i sottogruppi di un dato ordine di un gruppo non abeliano? Sì procede in modo "quasi identico"? Cioè conto i p-sottogruppi dei p-sylow e vedo se il loro prodotto è ancora un sylow? Anche se mi sembra molto molto più difficile perché potrebbero esserci più p-sylow!
2)L'altra forma canonica per i gruppi abeliani, cioè quella linkata nel primo post, in che contesto si usa?
Grazie per la disponibilità Martino!
"Shocker":Se il gruppo è nilpotente e conosci la struttura dei Sylow allora il procedimento è lo stesso. Ma in generale (cioè se il gruppo non è necessariamente nilpotente) questa tecnica non funziona perché il prodotto (interno) tra due sottogruppi (anche di ordine coprimo) in generale non è un sottogruppo.
1)se volessi contare i sottogruppi di un dato ordine di un gruppo non abeliano? Sì procede in modo "quasi identico"? Cioè conto i p-sottogruppi dei p-sylow e vedo se il loro prodotto è ancora un sylow? Anche se mi sembra molto molto più difficile perché potrebbero esserci più p-sylow!
2)L'altra forma canonica per i gruppi abeliani, cioè quella linkata nel primo post, in che contesto si usa?Ha il pregio di essere una scrittura unica (e quindi parametrizza i gruppi abeliani finiti). Detto questo io non l'ho mai usata, ma per esempio avevo visto che nei problemi riguardanti la costante di Davenport la usano.
Perfetto.
Grazie mille Martino
Grazie mille Martino
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