Contare polinomi irriducibili
\(p\) sarà sempre un numero primo.
Sia \( \Phi\) l'insieme di forme cubiche binarie primitive omogenee e irriducibili a coefficienti interi
Notazione:
Dove per due forme scriviamo \( F_1(x,y) \equiv F_2(x,y) \mod m \) se per ogni coppia \(x,y \in \mathbb{Z} \) le forme assumono valori congruenti \( \mod m\). Mentre quando scriviamo \( F_1(x,y) \equiv F_2(x,y) \operatorname{Mod} m \) vuol dire che ciascun coefficiente di \(F_1 \) è congruente \( \mod m \) a ciascun coefficiente corrispondente di \(F_2\).
Per \(F \in \Phi \) definiamo il simbolo \( (F,p) \) nel seguente modo
\( (F,p) = (111) \) se \( F \equiv \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \operatorname{Mod} p \)
dove \( \lambda_i \) sono forme lineari \( \operatorname{Mod} p \) tale che nessun quoziente è costante.
\( (F,p) = (12) \) se \( F \equiv \lambda \kappa \operatorname{Mod} p \)
dove \( \lambda \) è una forma lineari \( \operatorname{Mod} p \) e \( \kappa \) è una forma quadratica irriducibile \( \operatorname{Mod} p \).
\( (F,p) = (3) \) se \( F \equiv \kappa \operatorname{Mod} p \)
dove \( \kappa \) è una forma cubica irriducibile \( \operatorname{Mod} p \).
\( (F,p) = (1^3) \) se \( F \equiv \alpha \lambda^3 \operatorname{Mod} p \)
dove \( \lambda \) è una forma lineare \( \operatorname{Mod} p \) e \( \alpha \) una costante \( \mod p \).
\( (F,p) = (1^21) \) se \( F \equiv \lambda_1^2 \lambda_2 \operatorname{Mod} p \)
dove \( \lambda_i \) sono forme lineare \( \operatorname{Mod} p \) con un quoziente non costante.
Ora definiamo per \( T_p(111) \) l'insieme di forme \(F \in \Phi\) tale che \( (F,p) = (111) \), \( T_p(12)\) l'insieme di forme tale che \( (F,p) = (12) \), etc..
Non capisco perché il numero di tali forme è il seguente \(p^{4r}(1-p^{-4}) \)
Consideriamo \(F \in \Phi \) sulle classi di resto \( \mod p^r \) per \(r=1,2\). Il numero ti queste forme è \(p^{4r}(1-p^{-4}) \)
Ora sia \(S\) un sotto insieme di \( \Phi \), denotiamo con \( A(S,p^r) \) il numero di classi di resto \( \mod p^r \) occupate dalle forme che stanno in \(S\) diviso \( p^{4r}(1-p^{-4}) \).
Ora devo dimostrare che per \(r=1,2\) abbiamo
\[ A(T_p(111),p^r) = \frac{1}{6} p(p-1)(p^2+1)^{-1} \]
\[ A(T_p(12),p^r) = \frac{1}{2} p(p-1)(p^2+1)^{-1} \]
\[ A(T_p(3),p^r) = \frac{1}{3} p(p-1)(p^2+1)^{-1} \]
\[ A(T_p(1^3),p^r) = (p^2+1)^{-1} \]
\[ A(T_p(1^2 1),p^r) =p(p^2+1)^{-1} \]
La dimostrazione dice semplicemente che siccome la definizione di \( (F,p) \) dipende solo dalle classi di resto di \( F \operatorname{Mod} p \) è sufficiente dimostrarlo per \(r=1\). E che poi diventa un elementare processo di conteggio normalizzando il più alto coefficiente non nullo.
Ma io non capisco perché è sufficiente dimostrarlo per \(r=1\) in fin dei conti se divido per \( p^{4}(1-p^{-4}) \) o per \( p^{8}(1-p^{-4}) \) cambia.
Inoltre il conteggio non sono sicuro di farlo giusto
Okay il numero di polinomi omogenei normalizzati irriducibili \( \operatorname{Mod} p \) di grado 1,2 e 3 sono rispettivamente \( p+1\), \( \frac{1}{2}p(p-1) \) e \( \frac{1}{3} p (p-1) (p+1) \). Ora ad esempio per
\( A(T_p(12),p^r) \) posso scegliere in \( p+1 \) modi la forma lineare e in \( \frac{1}{2} p (p-1) \) modi la forma quadratica e poi posso scegliere in \(p-1 \) modi "la costante che ho normalizzato" per un totale di
\[ \frac{1}{2}\frac{(p+1)p(p-1)^2}{(p^2+1)(p-1)(p+1)} = \frac{1}{2} p(p-1) (p^2+1)^{-1} \]
e viene okay. Se ragiono in questo modo mi viene giusto per \( A(T_p(3),p^r) \), \( A(T_p(1^3),p^r) \) e per \( A(T_p(1^21),p^r) \) però non per \( A(T_p(111),p^r) \) infatti scelgo \( \lambda_1 \) in \( p +1 \) modi, scelgo \( \lambda_2 \) in \( p \) modi (perché non possono avere un quoziente costante) e scelgo \( \lambda_3 \) in \(p-1\) modi, poi scelgo la costante che ho normalizzato in \( p-1 \) modi e abbiamo in totale
\[ A(T_p(111),p^r) = \frac{ p (p-1)^2 (p+1) }{ (p-1) (p+1)(p^2+1) } = p (p-1) (p^2+1)^{-1} \]
come vedete mi manca la costante \( \frac{1}{6} \) che non so da dove la tira fuori... dov'è l'errore?
Sia \( \Phi\) l'insieme di forme cubiche binarie primitive omogenee e irriducibili a coefficienti interi
Notazione:
Dove per due forme scriviamo \( F_1(x,y) \equiv F_2(x,y) \mod m \) se per ogni coppia \(x,y \in \mathbb{Z} \) le forme assumono valori congruenti \( \mod m\). Mentre quando scriviamo \( F_1(x,y) \equiv F_2(x,y) \operatorname{Mod} m \) vuol dire che ciascun coefficiente di \(F_1 \) è congruente \( \mod m \) a ciascun coefficiente corrispondente di \(F_2\).
Per \(F \in \Phi \) definiamo il simbolo \( (F,p) \) nel seguente modo
\( (F,p) = (111) \) se \( F \equiv \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \operatorname{Mod} p \)
dove \( \lambda_i \) sono forme lineari \( \operatorname{Mod} p \) tale che nessun quoziente è costante.
\( (F,p) = (12) \) se \( F \equiv \lambda \kappa \operatorname{Mod} p \)
dove \( \lambda \) è una forma lineari \( \operatorname{Mod} p \) e \( \kappa \) è una forma quadratica irriducibile \( \operatorname{Mod} p \).
\( (F,p) = (3) \) se \( F \equiv \kappa \operatorname{Mod} p \)
dove \( \kappa \) è una forma cubica irriducibile \( \operatorname{Mod} p \).
\( (F,p) = (1^3) \) se \( F \equiv \alpha \lambda^3 \operatorname{Mod} p \)
dove \( \lambda \) è una forma lineare \( \operatorname{Mod} p \) e \( \alpha \) una costante \( \mod p \).
\( (F,p) = (1^21) \) se \( F \equiv \lambda_1^2 \lambda_2 \operatorname{Mod} p \)
dove \( \lambda_i \) sono forme lineare \( \operatorname{Mod} p \) con un quoziente non costante.
Ora definiamo per \( T_p(111) \) l'insieme di forme \(F \in \Phi\) tale che \( (F,p) = (111) \), \( T_p(12)\) l'insieme di forme tale che \( (F,p) = (12) \), etc..
Non capisco perché il numero di tali forme è il seguente \(p^{4r}(1-p^{-4}) \)
Consideriamo \(F \in \Phi \) sulle classi di resto \( \mod p^r \) per \(r=1,2\). Il numero ti queste forme è \(p^{4r}(1-p^{-4}) \)
Ora sia \(S\) un sotto insieme di \( \Phi \), denotiamo con \( A(S,p^r) \) il numero di classi di resto \( \mod p^r \) occupate dalle forme che stanno in \(S\) diviso \( p^{4r}(1-p^{-4}) \).
Ora devo dimostrare che per \(r=1,2\) abbiamo
\[ A(T_p(111),p^r) = \frac{1}{6} p(p-1)(p^2+1)^{-1} \]
\[ A(T_p(12),p^r) = \frac{1}{2} p(p-1)(p^2+1)^{-1} \]
\[ A(T_p(3),p^r) = \frac{1}{3} p(p-1)(p^2+1)^{-1} \]
\[ A(T_p(1^3),p^r) = (p^2+1)^{-1} \]
\[ A(T_p(1^2 1),p^r) =p(p^2+1)^{-1} \]
La dimostrazione dice semplicemente che siccome la definizione di \( (F,p) \) dipende solo dalle classi di resto di \( F \operatorname{Mod} p \) è sufficiente dimostrarlo per \(r=1\). E che poi diventa un elementare processo di conteggio normalizzando il più alto coefficiente non nullo.
Ma io non capisco perché è sufficiente dimostrarlo per \(r=1\) in fin dei conti se divido per \( p^{4}(1-p^{-4}) \) o per \( p^{8}(1-p^{-4}) \) cambia.
Inoltre il conteggio non sono sicuro di farlo giusto
Okay il numero di polinomi omogenei normalizzati irriducibili \( \operatorname{Mod} p \) di grado 1,2 e 3 sono rispettivamente \( p+1\), \( \frac{1}{2}p(p-1) \) e \( \frac{1}{3} p (p-1) (p+1) \). Ora ad esempio per
\( A(T_p(12),p^r) \) posso scegliere in \( p+1 \) modi la forma lineare e in \( \frac{1}{2} p (p-1) \) modi la forma quadratica e poi posso scegliere in \(p-1 \) modi "la costante che ho normalizzato" per un totale di
\[ \frac{1}{2}\frac{(p+1)p(p-1)^2}{(p^2+1)(p-1)(p+1)} = \frac{1}{2} p(p-1) (p^2+1)^{-1} \]
e viene okay. Se ragiono in questo modo mi viene giusto per \( A(T_p(3),p^r) \), \( A(T_p(1^3),p^r) \) e per \( A(T_p(1^21),p^r) \) però non per \( A(T_p(111),p^r) \) infatti scelgo \( \lambda_1 \) in \( p +1 \) modi, scelgo \( \lambda_2 \) in \( p \) modi (perché non possono avere un quoziente costante) e scelgo \( \lambda_3 \) in \(p-1\) modi, poi scelgo la costante che ho normalizzato in \( p-1 \) modi e abbiamo in totale
\[ A(T_p(111),p^r) = \frac{ p (p-1)^2 (p+1) }{ (p-1) (p+1)(p^2+1) } = p (p-1) (p^2+1)^{-1} \]
come vedete mi manca la costante \( \frac{1}{6} \) che non so da dove la tira fuori... dov'è l'errore?
Risposte
Sono scemo non ho diviso per le permutazioni. Riguardo al \(r=1 \) ho capito. Quindi apposto.
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