Contare il numero di accoppiamenti (pairings)
Ciao a tutti,
in relazione al teorema di Wick sto cercando di contare il numero di possibili coppie che si possono formare da un insieme di $n$ (chiaramente pari) elementi distinguibili. Peró non ci sto riuscendo...
Qualcuno sa indirizzarmi?
Grazie mille.
in relazione al teorema di Wick sto cercando di contare il numero di possibili coppie che si possono formare da un insieme di $n$ (chiaramente pari) elementi distinguibili. Peró non ci sto riuscendo...
Qualcuno sa indirizzarmi?
Grazie mille.
Risposte
Cosa intendi esattamente per formare le coppie? Intendi dire il numero di coppie ordinate con elementi distinti che con valori in quell'insieme? Perché in quel caso sono n!(n-1)!
Oppure intendi i possibili modi in cui puoi accoppiarli tutti, per esempio le coppie (1,2)(3,4), (1,3)(2,4)... nel caso di n=4?
Oppure intendi i possibili modi in cui puoi accoppiarli tutti, per esempio le coppie (1,2)(3,4), (1,3)(2,4)... nel caso di n=4?
Intendo la seconda. Non sapevo come formulare più precisamente la domanda...
Non sono il massimo con questi calcoli comunque penso sia \(\displaystyle \frac{n!}{(n/2)!} \).
Nel senso che hai \(\displaystyle n!(n-1)! \) per la prima coppia ordinata (se le coppie non sono ordinate devi dividere per \(\displaystyle 2 \)), poi \(\displaystyle (n-2)!(n-3)! \) per la seconda e così via fino a \(\displaystyle 2!1! \) dell'ultima coppia (eventualmente devi dividerle tutte per 2 se le coppie non sono ordinate).
Ora però hai \(\displaystyle n/2 \) coppie ordinate messe in un certo ordine. Ma dato che a te serve il numero di coppie devi dividere per in numero di ordini diversi che puoi avere che è \(\displaystyle (n/2)! \).
Quindi se non ho fatto i calcoli male dovrebbe venire \(\displaystyle \frac{n!}{(n/2)!} \) se vuoi che le coppie siano ordinate e \(\displaystyle \frac{n!}{(n/2)!2^{n/2}} \) se vuoi contare le coppie senza ordine.
ok, controlliamo...
Per \(\displaystyle n=4 \) abbiamo che \(\displaystyle n!=4!=24 \), \(\displaystyle (n/2)! = 2! = 2 \). Quindi dovrei avere \(\displaystyle 12 \) coppie ordinate e \(\displaystyle 3 \) coppie prese senza ordine. Ti risulta? Per le coppie prese senza ordine a me si \(\displaystyle (12)(34) \), \(\displaystyle (13)(24) \), \(\displaystyle (14)(23) \). E dovrebbe essere giusto anche per le altre.
Nel senso che hai \(\displaystyle n!(n-1)! \) per la prima coppia ordinata (se le coppie non sono ordinate devi dividere per \(\displaystyle 2 \)), poi \(\displaystyle (n-2)!(n-3)! \) per la seconda e così via fino a \(\displaystyle 2!1! \) dell'ultima coppia (eventualmente devi dividerle tutte per 2 se le coppie non sono ordinate).
Ora però hai \(\displaystyle n/2 \) coppie ordinate messe in un certo ordine. Ma dato che a te serve il numero di coppie devi dividere per in numero di ordini diversi che puoi avere che è \(\displaystyle (n/2)! \).
Quindi se non ho fatto i calcoli male dovrebbe venire \(\displaystyle \frac{n!}{(n/2)!} \) se vuoi che le coppie siano ordinate e \(\displaystyle \frac{n!}{(n/2)!2^{n/2}} \) se vuoi contare le coppie senza ordine.
ok, controlliamo...
Per \(\displaystyle n=4 \) abbiamo che \(\displaystyle n!=4!=24 \), \(\displaystyle (n/2)! = 2! = 2 \). Quindi dovrei avere \(\displaystyle 12 \) coppie ordinate e \(\displaystyle 3 \) coppie prese senza ordine. Ti risulta? Per le coppie prese senza ordine a me si \(\displaystyle (12)(34) \), \(\displaystyle (13)(24) \), \(\displaystyle (14)(23) \). E dovrebbe essere giusto anche per le altre.
Ok, mi torna. Per esempio, avevo scritto a mano tutte le possibili coppie per $n=6$ e ne ho contate 15, in accordo con il tuo risultato per il caso senza ordine.
Grazie mille!
Grazie mille!
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