Contando omomorfismi tra gruppi
Siano $X:=\text{Hom}(\mathbb{Z} \/ 2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \/ 2\mathbb{Z}, G)$ e $Y:=\{f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to G: f \text{ omomorfismo},2\mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z}\subset \text{ker}f \}$.
Dimostrare che $#X=#Y$.
In realtà ho già una soluzione che consiste nel contare quasi esplicitamente le due cardinalità, però vorrei vedere più soluzioni possibili
Dimostrare che $#X=#Y$.
In realtà ho già una soluzione che consiste nel contare quasi esplicitamente le due cardinalità, però vorrei vedere più soluzioni possibili
Risposte
Prova ad usare il terzo teorema degli isomorfismi di gruppi.
Non credo di aver usato il terzo teorema di isomorfismo, ma comunque ho mostrato (usando il primo teorema di isomorfismo) che se $f\inY$ allora $\text{Im}(f)\cong (\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}) \/ (2\mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \/ 2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \/ 2\mathbb{Z}$.
Questo fatto può aiutarmi? Ma soprattutto è vero?
Questo fatto può aiutarmi? Ma soprattutto è vero?
La struttura di prodotto non è necessaria alla dimostrazione.
Il mio ragionamento è il seguente. Sia \(\displaystyle G = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) e \(\displaystyle G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \). Si ha banalmente \(\displaystyle H \triangleleft G \).
Sia \(f\in Y\), allora \(K = \ker f \supseteq H\) per ipotesi. Per la commutatività di \(G\) si ha che \(\displaystyle H \trianglelefteq K \). Anche se era sufficiente il fatto che \(H\) è normale in \(G\).
A questo punto hai che \(G/K \cong (G/H)/(K/H)\) per il terzo teorema degli isomorfismi.
Il mio ragionamento è il seguente. Sia \(\displaystyle G = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) e \(\displaystyle G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \). Si ha banalmente \(\displaystyle H \triangleleft G \).
Sia \(f\in Y\), allora \(K = \ker f \supseteq H\) per ipotesi. Per la commutatività di \(G\) si ha che \(\displaystyle H \trianglelefteq K \). Anche se era sufficiente il fatto che \(H\) è normale in \(G\).
A questo punto hai che \(G/K \cong (G/H)/(K/H)\) per il terzo teorema degli isomorfismi.
Scusa la niubbagine, ho capito ciò che hai fatto, ma non capisco perché ciò implicherebbe la tesi... 
Grazie per l'interesse
Grazie per l'interesse
Il punto è che \(f = h\circ \pi\) per qualche \(h\) in \(X\), dove \(\pi\) è la proiezione sul quoziente. Ho notato che in effetti è necessaria anche la tua osservazione.
Non mi è ancora chiara l'utilità del terzo teorema dell'isomorfismo 
Allora, chiariamo prima la notazione per evitare equivoci: credo che tu volessi definire $H=2\mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z}$. Inoltre adattandomi alla tua notazione e cambiando quella del mio post originario, diciamo che $X=\text{Hom}(G, G')$.
Bene, l'idea è dimostrare che esiste una bigezione tra $X$ e $Y$, in particolare che se $f\in Y$ allora $f=h\circ \pi$ con $h\in X$. Per la proprietà universale del nucleo sappiamo che tale $h$ esiste ed è unica, quindi ci rimane da mostrare che $h\in X$. Poiché $\pi: G\to G \/K$ e $h: G \/K\to G'$, si vuole provare che $G \/K\cong \mathbb{Z} \/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \/2\mathbb{Z}$. Fin qui giusto?
Dal terzo teorema di isomorfismo si deduce che $G \/K\cong (\mathbb{Z} \/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \/2\mathbb{Z}) \/(K \/H)$ e ora? (in effetti da qui ho trovato un modo per concludere, ma mi ci son volute un bel po' di elucubrazioni, quindi sicuramente non è quello che tu avevi in mente!)
Tuttavia, usando il primo teorema di isomorfismo e la relazione ottenuta nel mio secondo post, si ha $G \/ K\cong \text{Im}(f)\cong \mathbb{Z} \/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \/2\mathbb{Z}$, che conclude la dimostrazione. Giusto?
Allora, chiariamo prima la notazione per evitare equivoci: credo che tu volessi definire $H=2\mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z}$. Inoltre adattandomi alla tua notazione e cambiando quella del mio post originario, diciamo che $X=\text{Hom}(G, G')$.
Bene, l'idea è dimostrare che esiste una bigezione tra $X$ e $Y$, in particolare che se $f\in Y$ allora $f=h\circ \pi$ con $h\in X$. Per la proprietà universale del nucleo sappiamo che tale $h$ esiste ed è unica, quindi ci rimane da mostrare che $h\in X$. Poiché $\pi: G\to G \/K$ e $h: G \/K\to G'$, si vuole provare che $G \/K\cong \mathbb{Z} \/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \/2\mathbb{Z}$. Fin qui giusto?
Dal terzo teorema di isomorfismo si deduce che $G \/K\cong (\mathbb{Z} \/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \/2\mathbb{Z}) \/(K \/H)$ e ora? (in effetti da qui ho trovato un modo per concludere, ma mi ci son volute un bel po' di elucubrazioni, quindi sicuramente non è quello che tu avevi in mente!)
Tuttavia, usando il primo teorema di isomorfismo e la relazione ottenuta nel mio secondo post, si ha $G \/ K\cong \text{Im}(f)\cong \mathbb{Z} \/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \/2\mathbb{Z}$, che conclude la dimostrazione. Giusto?
Se è possibile mi concedo un UP!
Allora, sopra ho scritto un sacco di cavolate, pricipalmente perché ho frainteso la seguente frase di vict85 cercando di mostrare cosa senza alcun senso.
Qui si intendeva \(\pi:G\rightarrow G/H \) e non \(\pi:G\rightarrow G/K \). Ora m'è tutto più chiaro, o meglio mi è chiaro come mostrare questo fatto (che è una semplice generalizzazione del primo teorema dell'isomorfismo), ma non l'uso del terzo teorema di isomorfismo.
"vict85":
Il punto è che \( f = h\circ \pi \) per qualche \( h \) in \( X \), dove \( \pi \) è la proiezione sul quoziente.
Qui si intendeva \(\pi:G\rightarrow G/H \) e non \(\pi:G\rightarrow G/K \). Ora m'è tutto più chiaro, o meglio mi è chiaro come mostrare questo fatto (che è una semplice generalizzazione del primo teorema dell'isomorfismo), ma non l'uso del terzo teorema di isomorfismo.
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