Considerazioni sulle costruzioni dei reali
L'idea di aprire questo thread mi è venuta dopo aver letto questo intervento ed aver fatto un paio di considerazioni, ma vado con ordine.
I più comuni modi di costruire l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali sono due, uno dovuto a Dedekind ed uno a Cantor.
Prima di leggere l'intervento succitato, non avevo mai visto intervenire la definizione di numero reale in una dimostrazione che non fosse strettamente legata alla loro costruzione (esistenza e verifica degli assiomi dei numeri reali) e mi rendo conto che per dimostrare la densità dei razionali nei reali utilizzare la definizione di numero reale data da Dedekind sia molto più comodo che utilizzare quella data da Cantor (oltre al fatto che tale dimostrazione sia più conveniente della più comune dimostrazione "algebrica" proposta qui). Spesso accade che definizioni equivalenti per lo stesso concetto tornino utili in occasioni diverse.
Saluti.
I più comuni modi di costruire l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali sono due, uno dovuto a Dedekind ed uno a Cantor.
L'equivalenza delle due costruzioni discende dal teorema che dice che tutti i campi completi e totalmente ordinati sono isomorfi, teorema che ho trovato enunciato in più di un libro ma del quale non ho mai visto una dimostrazione.
Prima di leggere l'intervento succitato, non avevo mai visto intervenire la definizione di numero reale in una dimostrazione che non fosse strettamente legata alla loro costruzione (esistenza e verifica degli assiomi dei numeri reali) e mi rendo conto che per dimostrare la densità dei razionali nei reali utilizzare la definizione di numero reale data da Dedekind sia molto più comodo che utilizzare quella data da Cantor (oltre al fatto che tale dimostrazione sia più conveniente della più comune dimostrazione "algebrica" proposta qui). Spesso accade che definizioni equivalenti per lo stesso concetto tornino utili in occasioni diverse.
Perciò mi chiedo se esistano altre dimostrazioni al di fuori della costruzione stessa dei reali nelle quali è utile far intervenire la definizione di numero reale e se esistano esempi in cui la definizione di Cantor "funzioni meglio" (faccia capire meglio cosa succede/renda la dimostrazione più elegante) di quella di Dedekind (senza nessuna pretesa che i criteri per "migliore", "comprensibile" o "elegante" siano universali, mi interessano le vostre opinioni). Inoltre se qualcuno ha un testo o una dispensa da consigliare sull'argomento in generale ed in particolare sul teorema di isomorfismo dei campi ordinati e completi, è tutto ben accetto.
Saluti.
Risposte
@Delirium,
mi hai letto nel pensiero
.. consiglio anche io quegli appunti, di recente ho notato che un approccio assiomatico alle volte è moooolto più utile di chissà quale rappresentazione dei Reali... 
Saluti
P.S.=Consiglio anche queste note
"Delirium":
Mi limito (semplicemente perché non ne so molto) a segnalare questo, che possa servire o meno.
mi hai letto nel pensiero
.. consiglio anche io quegli appunti, di recente ho notato che un approccio assiomatico alle volte è moooolto più utile di chissà quale rappresentazione dei Reali... Saluti
P.S.=Consiglio anche queste note
Salve, m'inserisco nella discussione:
perché il Dedekind scomoda gli insiemi nella definizione di numero reale?
"Se A e B sono sottoinsiemi di R, entrambi non vuoti e tali che a$<=$b $AA$a$in$A, $AA$b$in$B, allora esiste un numero reale c tale che a$<=$c$<=$b $AA$a$in$A, $AA$b$in$B" (Questo dice Dedekind)
Non sarebbe più "pulito", semplice e lineare definire R così:
$AA$a,b$in$R $EE$c$in$R | a$<=$c$<=$b
?
Non è, mi ripeto, più lineare, semplice e pulita senza bisogno di scomodare gli insiemi?
perché il Dedekind scomoda gli insiemi nella definizione di numero reale?
"Se A e B sono sottoinsiemi di R, entrambi non vuoti e tali che a$<=$b $AA$a$in$A, $AA$b$in$B, allora esiste un numero reale c tale che a$<=$c$<=$b $AA$a$in$A, $AA$b$in$B" (Questo dice Dedekind)
Non sarebbe più "pulito", semplice e lineare definire R così:
$AA$a,b$in$R $EE$c$in$R | a$<=$c$<=$b
?
Non è, mi ripeto, più lineare, semplice e pulita senza bisogno di scomodare gli insiemi?
Non ho capito ... Cosa avresti definito? Comunque occhio, nella definizione di Dedekind gli insiemi A e B non sono contenuti in R ma in Q.
Definisco R no? è la condizione del continuo.
E comunque nella definizione di Dedekind A e B sono sottoinsiemi di R. Vedi allegato.
E comunque nella definizione di Dedekind A e B sono sottoinsiemi di R. Vedi allegato.
Ti assicuro che Dedekind prende $A$ e $B$ come insiemi di razionali.
Per esempio vedi qui (radice di 2). Più in generale vedi qui.
Non ha senso prendere come $A$ e $B$ sottoinsiemi di $RR$ perché $RR$ non può comparire nella sua stessa definizione (ovviamente): in altre parole non puoi definire $RR$ usando $RR$. Quella che hai linkato non è la definizione di $RR$, è una proprietà di $RR$.
Per esempio vedi qui (radice di 2). Più in generale vedi qui.
Non ha senso prendere come $A$ e $B$ sottoinsiemi di $RR$ perché $RR$ non può comparire nella sua stessa definizione (ovviamente): in altre parole non puoi definire $RR$ usando $RR$. Quella che hai linkato non è la definizione di $RR$, è una proprietà di $RR$.
Si hai ragione, è una proprietà di $RR$ non la sua definizione.
Però il mio dubbio resta: perché usare i sottoinsiemi invece della terna (a,b,c) come ho scritto io per definire la proprietà del continuo?
Però il mio dubbio resta: perché usare i sottoinsiemi invece della terna (a,b,c) come ho scritto io per definire la proprietà del continuo?
"dubbio":Questa cosa che hai scritto è vera solo se $a \leq b$ e in tal caso è tautologica, cioè è completamente ovvia in qualsiasi insieme numerico (non solo in $RR$): è ovvio che esiste un tale $c$, basta prendere $c=a$ oppure anche $c=b$.
$AA$a,b$in$R $EE$c$in$R | a$<=$c$<=$b
$AA a,b in RR EE c in RR | a
in questo caso $c!=a ^^ c!=b$ definisce la continuità in $RR$ senza scomodare gli insiemi.
È matematicamente corretto?
in questo caso $c!=a ^^ c!=b$ definisce la continuità in $RR$ senza scomodare gli insiemi.
È matematicamente corretto?
No perché puoi prendere $c=(a+b)/2$ e funziona anche in $QQ$.
non importa se funziona anche in $QQ$ l'importante è che funzioni anche in $RR$. È questo il mio scopo no? infatti il mio c lo scelgo condizionato.
Perdona la mia pedante curiosità, è che proprio faccio fatica a vedere la definizione di proprietà di completezza usando gli insiemi invece che una triade di valori.
Non è logico il mio ragionamento?
Qualsiasi coppia di numeri tu scelga, potrò sempre trovarne almeno un terzo che sia tra i due. Più logico di così definire la completezza di $RR$!!
Non trovi?
Perdona la mia pedante curiosità, è che proprio faccio fatica a vedere la definizione di proprietà di completezza usando gli insiemi invece che una triade di valori.
Non è logico il mio ragionamento?
Qualsiasi coppia di numeri tu scelga, potrò sempre trovarne almeno un terzo che sia tra i due. Più logico di così definire la completezza di $RR$!!
Non trovi?
Non va bene perché una cosa che si chiama assioma di completezza non può in nessun caso essere verificata da $QQ$. Dire che tra due numeri ne esiste sempre un terzo non riempie i buchi lasciati da $QQ$, perché in $QQ$ succede che tra due numeri ne esiste sempre un terzo.
Il motivo per cui si usano gli insiemi è ben esemplificato dal link su radice di 2 che ti ho messo in un precedente intervento. L'assioma dice che classi contigue hanno un unico elemento separatore. Con la tua interpretazione ci sono sempre infiniti elementi separatori, tutti quelli compresi tra a e b. Quindi non va bene.
Basta poter sommare e dividere per 2 per verificare la tua condizione, cosa che sappiamo fare anche in $QQ$.
Il motivo per cui vogliamo costruire $RR$ è perché $QQ$ non è completo. Quindi l'assioma di completezza che introduciamo (e che vogliamo essere verificato da $RR$) non può essere verificato da $QQ$.
Non so spiegarmi meglio di così, mi dispiace
Il motivo per cui si usano gli insiemi è ben esemplificato dal link su radice di 2 che ti ho messo in un precedente intervento. L'assioma dice che classi contigue hanno un unico elemento separatore. Con la tua interpretazione ci sono sempre infiniti elementi separatori, tutti quelli compresi tra a e b. Quindi non va bene.
Basta poter sommare e dividere per 2 per verificare la tua condizione, cosa che sappiamo fare anche in $QQ$.
Il motivo per cui vogliamo costruire $RR$ è perché $QQ$ non è completo. Quindi l'assioma di completezza che introduciamo (e che vogliamo essere verificato da $RR$) non può essere verificato da $QQ$.
Non so spiegarmi meglio di così, mi dispiace
@dubbio la proprietà di completezza è una cosa, i reali un'altra, la proprietà che tu sta discutendo un'altra ancora.
Una volta che hai espresso una proprietà in maniera formale, puoi chiederti se certi oggetti (definiti in qualche modo) la soddisfino o meno.
Esempio: gli assiomi di gruppo sono (...) consideriamo l'insieme \(\mathbb Z\) definito come (...) dotato dell'operazione di somma definita come (...), verifichiamo che gli assiomi sono soddisfatti; consideriamo l'insieme \(\mathbb N\) definito come (...) dotato dell'operazione di somma definita come (...), verifichiamo che gli assiomi non sono soddisfatti.
L'assioma di completezza dice quel che dice, se vuoi verificare che il campo che tu chiami "numeri reali" lo soddisfa prima devi definire com'è fatto il campo in questione. Finora non hai proposto alcuna definizione del(l'insieme a sostegno del) campo suddetto (né della proprietà di completezza). Hai scritto un'espressione formale che afferma "data una coppia di reali esiste un terzo numero reale strettamente contenuto tra i due". Come ti è stato fatto notare, questa è una proprietà soddisfatta anche dai razionali, quindi non è equivalente alla completezza. Insomma non stai né costruendo i reali, né affermando che una qualche definizione dei reali soddisfa l'assioma di completezza.
Mi scuso se sono stato approssimativo, ma al momento non ho il tempo di scrivere una risposta più accurata.
Una volta che hai espresso una proprietà in maniera formale, puoi chiederti se certi oggetti (definiti in qualche modo) la soddisfino o meno.
Esempio: gli assiomi di gruppo sono (...) consideriamo l'insieme \(\mathbb Z\) definito come (...) dotato dell'operazione di somma definita come (...), verifichiamo che gli assiomi sono soddisfatti; consideriamo l'insieme \(\mathbb N\) definito come (...) dotato dell'operazione di somma definita come (...), verifichiamo che gli assiomi non sono soddisfatti.
L'assioma di completezza dice quel che dice, se vuoi verificare che il campo che tu chiami "numeri reali" lo soddisfa prima devi definire com'è fatto il campo in questione. Finora non hai proposto alcuna definizione del(l'insieme a sostegno del) campo suddetto (né della proprietà di completezza). Hai scritto un'espressione formale che afferma "data una coppia di reali esiste un terzo numero reale strettamente contenuto tra i due". Come ti è stato fatto notare, questa è una proprietà soddisfatta anche dai razionali, quindi non è equivalente alla completezza. Insomma non stai né costruendo i reali, né affermando che una qualche definizione dei reali soddisfa l'assioma di completezza.
Mi scuso se sono stato approssimativo, ma al momento non ho il tempo di scrivere una risposta più accurata.
Si avete ragione!
Sto riflettendo sulla differenza tra definizione di $RR$ e le sue proprietà. Ho un po' di confusione.
Grazie mille per avermi risposto!!!
Sto riflettendo sulla differenza tra definizione di $RR$ e le sue proprietà. Ho un po' di confusione.
Grazie mille per avermi risposto!!!
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