Considerazione sul periodo degli elementi di gruppo

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Mi sento molto stupido ma non riesco a convincermi di questo fatto: in un gruppo se elemento $a$ ha ordine che divide quello di un altro elemento $b$ allora necessariamente $a$ appartiene al sottogruppo generato da $b$. MI basta anche un'idea per dimostrarlo, grazie.

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Non mi sembra vero: considera $Z_2xxZ_2$ e gli elementi $a=(1,0)$ e $b=(0,1)$ hanno entrambi ordine 2 però $a$ non è nel sottogruppo generato da $b$

Funziona nel caso il gruppo è ciclico (finito): prendi due elementi $a,b in ZZ_n$ se $"ord"(a)\ |\ "ord"(b)$ allora $n/a \ | \ n/b$ quindi $n/b=k*n/a \Rightarrow a=kb$ ovvero a è nel sottogruppo generato da b

nel caso infinito non so, ciao

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In effetti io stavo considerando uno $ZZ_n$ quindi potresti avere ragione.
Comunque la tua dimostrazione non mi convince perchè non è detto che $a$ e $b$ dividano $n$.

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"GreenLink":In effetti io stavo considerando uno $ZZ_n$ quindi potresti avere ragione.
Comunque la tua dimostrazione non mi convince perchè non è detto che $a$ e $b$ dividano $n$.

è sbagliata hai ragione. Ho tentato una soluzione, mi sembra un po' contorta per essere la migliore, stavolta mi pare funzioni, controlla (se ti va!) e fammi sapere

La relazione giusta è $"ord"(a)=n/("MCD"(a,n))$ e $"ord"(b)=n/("MCD"(b,n))$ quindi sappiamo che $"MCD"(a,n)=k"MCD"(b,n)$

prendiamo l'insieme $B={ x in ZZ_n \ |\ "MCD(x,n)=t*MCD(b,n) "con" \ t in ZZ}$ sappiamo che $a in B$ e $b in B$ (bisognerebbe verificare che $"MCD"(x,n)$ non dipende dalla classe ma penso sia vero in quanto hanno stando nella stessa classe hanno lo stesso ordine$)

affermo che $B$ è un sottogruppo di $ZZ_n$ siano $x_1,x_2 in B$ e pongo $MCD(b,n)=M$ in questo modo $"MCD"(x_i,n)=t_i*M$ allora $x_1=y_1 t_1 M$ e $x_2=y_2 t_2 M$

$x_1+x_2=(y_1t_1+y_2t_2)M$ e quindi $"MCD"(x_1+x_2,n)=rM$ per qualche $r in ZZ$

$B$ è un sottogruppo di un gruppo ciclico e quindi è ciclico $B=$ siccome $b in B$ sarà $hn+b=tz$ per opportuni $h,t in ZZ$

vale $"MCD"(tz,n)="MCD"(hn+b,n)="MCD"(b,n)$ ovvero $"MCD"(b,n)="MCD"(t,n)"MCD"(z,n)$ siccome $z in B$ sarà $"MCD"(z,n)=f*"MCD"(b,n)$ quindi $1="MCD"(t,n)*f$ quindi $t$ è coprimo con $n$ e questo implica che $B= = = $ e sapevamo già che $a in B$

[GreenLink]

non riesco bene a capire la dimostrazione del fatto che $B$ è un sottogruppo ma comunque ti ringrazio molto della disponibilità!

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"GreenLink":non riesco bene a capire la dimostrazione del fatto che $B$ è un sottogruppo ma comunque ti ringrazio molto della disponibilità!

ho mostrato che è chiuso rispetto alla somma, l'idea è semplice se ho due numeri divisibili per $"MCD"(b,n)$ anche la somma lo è