Conseguenza dei teoremi di Sylow
Ciao a tutti.
Non riesco a dimostrare il seguente fatto: sia $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$. Se $H$ è sottogruppo massimale di $G$, allora $H$ è normale in $G$ e $[G]=p$. Ho i seguenti suggerimenti: dimostrare che se $H$ è un sottogruppo di $G$, allora $H\subset N(H)$, con $N(H)={g in G:gHg^-1 = H}$. Dimostrare successivamente che se $H$ è massimale in $G$, allora $H$ è normale in $G$ e che $[G]=p$. Potreste darmi un'idea su come partire?
Non riesco a dimostrare il seguente fatto: sia $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$. Se $H$ è sottogruppo massimale di $G$, allora $H$ è normale in $G$ e $[G]=p$. Ho i seguenti suggerimenti: dimostrare che se $H$ è un sottogruppo di $G$, allora $H\subset N(H)$, con $N(H)={g in G:gHg^-1 = H}$. Dimostrare successivamente che se $H$ è massimale in $G$, allora $H$ è normale in $G$ e che $[G]=p$. Potreste darmi un'idea su come partire?
Risposte
Un'idea veloce, poi controllane tu la correttezza.
G è un $p$-gruppo, quindi ammette inverso del th. di Lagrange, ovvero un sottogruppo ad ogni divisore dell'ordine. Ora i divisori sono del tipo $p^i$ con $i=0,...,n$. Ed hai anche che si verifica una catena nel quale ogni membro è normale nel successivo (avendo indice $p$).
Quindi il tuo gruppo, essendo massimale (per inclusione) deve avere necessariamente ordine $p^(n-1)$ da cui hai tutta la risoluzione del tuo esercizio.
G è un $p$-gruppo, quindi ammette inverso del th. di Lagrange, ovvero un sottogruppo ad ogni divisore dell'ordine. Ora i divisori sono del tipo $p^i$ con $i=0,...,n$. Ed hai anche che si verifica una catena nel quale ogni membro è normale nel successivo (avendo indice $p$).
Quindi il tuo gruppo, essendo massimale (per inclusione) deve avere necessariamente ordine $p^(n-1)$ da cui hai tutta la risoluzione del tuo esercizio.
Propongo un ragionamento. Prova per induzione su [tex]n[/tex].
Prendi un elemento centrale [tex]g[/tex] di [tex]G[/tex] di ordine [tex]p[/tex] (che esiste perché [tex]G[/tex] è un [tex]p[/tex]-gruppo finito). Se il sottogruppo massimale [tex]H[/tex] non contiene [tex]g[/tex] allora [tex]\langle H,g \rangle = H \langle g \rangle = G[/tex] e da qui puoi dedurre che [tex]H[/tex] è normale di indice [tex]p[/tex]. Se invece [tex]g \in H[/tex] concludi per ipotesi induttiva su [tex]H/\langle g \rangle[/tex] e [tex]G/\langle g \rangle[/tex].
Prendi un elemento centrale [tex]g[/tex] di [tex]G[/tex] di ordine [tex]p[/tex] (che esiste perché [tex]G[/tex] è un [tex]p[/tex]-gruppo finito). Se il sottogruppo massimale [tex]H[/tex] non contiene [tex]g[/tex] allora [tex]\langle H,g \rangle = H \langle g \rangle = G[/tex] e da qui puoi dedurre che [tex]H[/tex] è normale di indice [tex]p[/tex]. Se invece [tex]g \in H[/tex] concludi per ipotesi induttiva su [tex]H/\langle g \rangle[/tex] e [tex]G/\langle g \rangle[/tex].
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