Coniugato di un reale e numeri totalmente reali
Ciao, amici! Nei Fondamenti della Geometria di Hilbert, di cui sto leggendo l'edizione del 1968 curata da Bernays, viene costruito un dominio $\Omega$ di tutti quei numeri algebrici che risultano partendo dal numero 1 ed applicando un numero di volte le quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e la quinta operazione \(|\sqrt{1+\omega^2}|\), dove $\omega$ deve ogni volta rappresentare un numero che sia già stato ottenuto per mezzo di quelle cinque operazioni (Fondamenti della Geometria, cap. 2, § 9). Si tratta, vedo, di un campo, precisamente di un'estenzione algebrica del campo $\mathbb{Q}$.
Nel capitolo 7 trovo scritto che poiché ovviamente i numeri del dominio $\Omega$ sono tutti reali, ne segue che il dominio $\Omega$ può contenere solo quei numeri algebrici reali i cui coniugati sono ancora reali, cioè i numeri del dominio $\Omega$ sono totalmente reali. Immagino, anche se non lo darei per scontato, che questa sia una definizione, cioè che un numero reale algebrico su $\mathbb{Q}$ sia definito totalmente reale tutte e sole le volte che anche il suo coniugato è reale. Ammesso e non concesso che questo sia ciò che intende Hilbert, non ho la benché minima certezza di che cosa sia il coniugato di un numero reale: più avanti nel testo si dice che il coniugato di \(\sqrt{2|\sqrt{2}|-2}\) è \(\sqrt{-2|\sqrt{2}|-2}\), ma da questo non saprei come ottenere una definizione generale.
Qualcuno conosce questa terminologia?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Nel capitolo 7 trovo scritto che poiché ovviamente i numeri del dominio $\Omega$ sono tutti reali, ne segue che il dominio $\Omega$ può contenere solo quei numeri algebrici reali i cui coniugati sono ancora reali, cioè i numeri del dominio $\Omega$ sono totalmente reali. Immagino, anche se non lo darei per scontato, che questa sia una definizione, cioè che un numero reale algebrico su $\mathbb{Q}$ sia definito totalmente reale tutte e sole le volte che anche il suo coniugato è reale. Ammesso e non concesso che questo sia ciò che intende Hilbert, non ho la benché minima certezza di che cosa sia il coniugato di un numero reale: più avanti nel testo si dice che il coniugato di \(\sqrt{2|\sqrt{2}|-2}\) è \(\sqrt{-2|\sqrt{2}|-2}\), ma da questo non saprei come ottenere una definizione generale.
Qualcuno conosce questa terminologia?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Di solito per "coniugati" di un numero algebrico si intendono gli zeri del suo polinomio minimo. Il campo base immagino sia [tex]\mathbb{Q}[/tex].
In particolare \( \pm\sqrt{\pm 2\sqrt{2}-2} \) sono le quattro radici del proprio polinomio minimo $X^4+4X^2-4=0$.
$\infty$ grazie: sta cominciando a dissiparsi un po' la nebbia terminologica in cui mi trovavo...
$\infty$ grazie: sta cominciando a dissiparsi un po' la nebbia terminologica in cui mi trovavo...
Mi è sorto un dubbio: che cosa garantisce che $\Omega$ contenga effettivamente tutti i coniugati dei numeri algebrici che contiene?
$\infty$ grazie a tutti!!!
$\infty$ grazie a tutti!!!
cercando nel web, ho trovato questa pagina, che ti volevo segnalare quasi in aggiunta al messaggio sull'n-gono regolare, perché vi ho trovato un riferimento all'ettagono... oltre a qualche definizione:
http://www.wikideep.it/polinomio-minimo/
http://www.wikideep.it/polinomio-minimo/
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