[Congruenze]Esercizio sulle dimostrazioni
Buona sera,
l'esercizio che mi sono posto davanti è il seguente:
" Siano:
- $a, b, c, m$ interi non-negativi
- $d := text(MCD)(c, m)$
Provare che:
$ ac ≡ bc mod m <=> a ≡ b mod k$ , dove $ m = kd$ . "
Il mio ragionamento è stato il seguente:
$ ac ≡ bc mod m <=> ac - bc = mt <=> c*(a-b)=mt <=> a-b = c^(-1)*t*m <=> a-b = m*q <=> a-b =k*d*q <=> a-b = k*g <=> a≡b mod k$
Però sento di aver sbagliato, perché non ho usato il dato $d = text(MCD)(m , c)$
Io avevo interpretato $m =kd$ come uno dei dati base con cui partiamo in ambe le direzioni delle dimostrazioni, ma credo che invece io abbia dovuto dimostrarlo partendo da sinistra.
Il problema è che, se questo fosse il caso, non saprei come farlo.
Sicuramente m sarà un multiplo del suo stesso MCD.
Quindi farà parte di quell'insieme di elementi definiti come composizione di $m*x + c*y,\ \forall x,y \in ZZ$.
Oltre a questo non mi viene in mente niente, e questi dati sfortunatamente non mi sono stati di alcuna utilità finora.
Secondo voi andava bene la mia interpretazione iniziale?
O c'è un modo per risolvere la seconda interpretazione?
l'esercizio che mi sono posto davanti è il seguente:
" Siano:
- $a, b, c, m$ interi non-negativi
- $d := text(MCD)(c, m)$
Provare che:
$ ac ≡ bc mod m <=> a ≡ b mod k$ , dove $ m = kd$ . "
Il mio ragionamento è stato il seguente:
$ ac ≡ bc mod m <=> ac - bc = mt <=> c*(a-b)=mt <=> a-b = c^(-1)*t*m <=> a-b = m*q <=> a-b =k*d*q <=> a-b = k*g <=> a≡b mod k$
Però sento di aver sbagliato, perché non ho usato il dato $d = text(MCD)(m , c)$
Io avevo interpretato $m =kd$ come uno dei dati base con cui partiamo in ambe le direzioni delle dimostrazioni, ma credo che invece io abbia dovuto dimostrarlo partendo da sinistra.
Il problema è che, se questo fosse il caso, non saprei come farlo.
Sicuramente m sarà un multiplo del suo stesso MCD.
Quindi farà parte di quell'insieme di elementi definiti come composizione di $m*x + c*y,\ \forall x,y \in ZZ$.
Oltre a questo non mi viene in mente niente, e questi dati sfortunatamente non mi sono stati di alcuna utilità finora.
Secondo voi andava bene la mia interpretazione iniziale?
O c'è un modo per risolvere la seconda interpretazione?
Risposte
In $ZZ$ esiste $c^(-1)$?
Questa mi è nuova…
Questa mi è nuova…
Già, non esiste, o per meglio dire, esiste l'inverso di 1 e -1.
Comunque non saprei come dimostrarla.
Comunque non saprei come dimostrarla.
Mi potete dare un'altra spintarella/ suggerimento?
\(\mathbb{Z}\) è un dominio di integrità. Insomma è vero che \(ca = cb \Rightarrow c = 0 \vee a = b\).
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