Congruenze

[daniele_86]

Salve sono alle prese con le congruenze e più in particolare con i sitemi di congruenze. Il mio problema è che non ho ben capito come si possono semplificare le congruenze. Di seguito vi mostro alcune congruenze e la loro semplificazione; confido in qualcuno che possa illustrarmi i passaggi per arrivare all'espressione semplificata. Grazie in anticipo.

leggenda: = sta per congruo

$x+2=0 (mod 5)$ => $x=3 (mod 5)$

$3x-(x-1)=0 (mod 11)$ => $x=5 (mod 11)$

[mistake89]

se hai capito come funziona una congruenza ed i rappresentanti canonici allora dovrebbe essere semplice.

la prima per esempio:
$ x + 2$ $-=$ $0 mod 5 $ $iff$ $x -= -2 mod 5$ $iff$ $x-= 3 mod 5$

la seconda ad occhio e croce dovrebbe essere la stessa.

[daniele_86]

Non so cosa siano i rappresentanti canonici??? Potresti indicarmi qualche fonte dove poter reperire informazioni a riguardo?

La mia lacuna è proprio in questo passaggio $x≡-2mod5 ⇔ x≡3mod5 $

Potresti per favore spiegare a parole il ragionamento che hai seguito??

Grazie, molto gentile.

[mistake89]

La congruenza modulo un intero è una relazione di equivalenza. Vi sono quindi delle classi di equivalenza: $[a]_R = { x | x in X$ $ x R a}$ con $a in X$
pensiamo quindi all'insieme quoziente: $X$/$R = { [a]_R | a in X}$
allora $T$ si dice sistema completo di rappresentanti per la relazione $R$ $iff$ $AA x in X$ $ EE | t in T$ $t.c.$ $xRt$ ovviamente $T sube X$

gli elementi di $T$ si chiamano rappresentanti canonici!

se pensi alla congruenza modulo un intero, $x -= 4 mod 3$, $4$ non è un rappresentante canonico poichè in $ZZ_3$ abbiamo soltanto questi elementi $ {$ $ [0], [1], [2] }$; quindi è proprio tra questi che dobbiamo trovare il nostro rappresentante canonico!

magari se non sono stato troppo chiaro, cercherò di aiutarti di più; ti consiglio comunque un buon libro di testo