Congruenze

[fransis2]

ciao, io sapevo che in una congruenza di grado 2: $ax^2+bx+c$congruo $0 (mod p^n)$ dove $p$ è un numero primo diverso da 2, le soluzioni sono $(-b+-sqrt(b^2-4ac))(2a)^(-1)$ esattamente come in un equazione: questo lo avevo sentito dal mio prof - o perlomeno è quello che ho capito io. Ora però considerando la congruenza $x^2-3x$ congruo $0 (mod 9)$ e applicando questo metodo si ottengono le soluzioni $0,3 (mod 9)$ mentre anche $6 (mod 9)$ è soluzione. Potete chiarirmi allora se questo metodo è valido o sennò qual è il modo di ragionare e come ci si comporta per p=2?

[alvinlee881]

La formula risolutiva delle equazioni di secondo grado puoi applicarla se il modulo è nella forma $p$. Nel caso del tuo esempio, devi cercare di cogliere il senso della congruenza. Ti si chiede di trovare gli $x$ tali che $9=3*3|x(x-3)$. Osservi che potesti avere che $3|x$ e al contempo $3|x-3$, da cui $xequiv0 (mod3)$, e quindi vale anche la tua $xequiv6(mod9)$, oppure potresti avere che $9|x$ e $9$ non divide $(x-3)$, da cui $xequiv0 (mod9)$, oppure che $9|(x-3)$, ma $9$ non divide $x$, da cui $xequiv3 (mod9)$, infine il caso $9|x$ e $9|(x-3)$ è evidentemente impossibile. Quindi le soluzioni sono $xequiv0,3,6 (mod9)$, cioè $xequiv0 (mod3)$. Spero di essere stato utile ciao