Congruenza polinomiale
dato il polinomio
$X^18-9$ in $\mathbb{Z}40$
determinare se ha radici.
Io ho iniziato impostando il problema come al solito
trovo la scomposizione in fattori primi di 40
$X^18-9$ congruente a$ 0 (mod 2^3)$
$X^18-9$ congruente a$ 0 (mod 5)$
ora devo provare ad inserire i valori ${0,1,2,3,4,5,6,7}$ nella prima equazione e vedere se è congruente a $0$ e fare lo stesso per la seconda equazione ma con i valori ${0,1,2,3,4}$.
Ora il problema come si fa a vedere se ad esempio $4^18-9$ è congruente a $0 (mod 8)$? Non posso certo mettermi a fare 18 moltiplicazioni. Mi verrebbero fuori 7*18 moltiplicazioni senza contare che $7^18$ non ci sta nemmeno sul display della mia calcolatrice quindi non posso fare $7^18-9$ e poi vedere il resto della divisione per 8.
$X^18-9$ in $\mathbb{Z}40$
determinare se ha radici.
Io ho iniziato impostando il problema come al solito
trovo la scomposizione in fattori primi di 40
$X^18-9$ congruente a$ 0 (mod 2^3)$
$X^18-9$ congruente a$ 0 (mod 5)$
ora devo provare ad inserire i valori ${0,1,2,3,4,5,6,7}$ nella prima equazione e vedere se è congruente a $0$ e fare lo stesso per la seconda equazione ma con i valori ${0,1,2,3,4}$.
Ora il problema come si fa a vedere se ad esempio $4^18-9$ è congruente a $0 (mod 8)$? Non posso certo mettermi a fare 18 moltiplicazioni. Mi verrebbero fuori 7*18 moltiplicazioni senza contare che $7^18$ non ci sta nemmeno sul display della mia calcolatrice quindi non posso fare $7^18-9$ e poi vedere il resto della divisione per 8.
Risposte
Non è difficile: $4^18$ è pari, quindi $4^18 -9$ non è multiplo di $8$.
Facciamo con $3$ e $5$:
$3^18=9^9-=1^9=1 (mod 8)$
$5^(18)=25^(9)-=1^9=1 (mod 8)$.
Quindi direi che vanno bene $1,3,5,7$ modulo $8$ (cioè, il numero deve essere dispari).
Passa ora al modulo $5$
Facciamo con $3$ e $5$:
$3^18=9^9-=1^9=1 (mod 8)$
$5^(18)=25^(9)-=1^9=1 (mod 8)$.
Quindi direi che vanno bene $1,3,5,7$ modulo $8$ (cioè, il numero deve essere dispari).
Passa ora al modulo $5$
Ok il fatto che $4^18-9$ non è pari e quindi non può essere un multiplo di 8 mi va bene.
Per i valori di 3 e 5 controlli se il resto è 1.. Perchè correggimi se sbaglio
togliendo $9$ a qualunque numero questo deve essere congruo a $1 (mod 8)$ altrimenti non è multiplo di 8 giusto?
quindi per modulo 5 siccome tolgo 9, il numero deve essere congruo a $4 (mod 5)$
mi rimane da controllare
$0^18-=4 (mod 5)$. 0 non è congruo a 4 mod 5
$1^18-=4 (mod 5)$. 1 non è congruo a 4 mod 5
$2^18-=4 (mod 5)$. visto che $4^9$ allora è congruo a 4 mod 5
$4^18-=4 (mod 5)$. è congruo a 4 mod 5
GIUSTO? (mi sa di no)
$3^18-=4 (mod 5)$. NON SO COME FARE QUI
Per i valori di 3 e 5 controlli se il resto è 1.. Perchè correggimi se sbaglio
togliendo $9$ a qualunque numero questo deve essere congruo a $1 (mod 8)$ altrimenti non è multiplo di 8 giusto?
quindi per modulo 5 siccome tolgo 9, il numero deve essere congruo a $4 (mod 5)$
mi rimane da controllare
$0^18-=4 (mod 5)$. 0 non è congruo a 4 mod 5
$1^18-=4 (mod 5)$. 1 non è congruo a 4 mod 5
$2^18-=4 (mod 5)$. visto che $4^9$ allora è congruo a 4 mod 5
$4^18-=4 (mod 5)$. è congruo a 4 mod 5
GIUSTO? (mi sa di no)
$3^18-=4 (mod 5)$. NON SO COME FARE QUI
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