Congruenza $mod n$

[poncelet]

Ciao a tutti. Probabilmente è più facile di quanto mi sembri. Come faccio a dedurre che $a-=bmod n$ implica $a^m-=b^mmod n " "AA m \in NN$? Il libro lo dà per scontato dicendo che basta iterare il ragionamento $a-=bmod n=>ac-=bcmod n$ $" "AA c \in ZZ$ ma non capisco il ragionamento.

[Steven11]

Più che altro ti conviene usare il fatto che se hai
[tex]$a\equiv b$[/tex] e
[tex]$c\equiv d$[/tex] allora vale

[tex]$ac\equiv bd$[/tex]
La verifica è semplice.

Quindi puoi moltiplicare per se stessa la $a\equiv b$ anche $n$ volte e ottieni $a^n\equiv b^n$

Ciao.

[poncelet]

Vediamo se ho capito.
Se $a\equivb$ e $c\equivd$ abbiamo che $ac\equivbd$ per il fatto che $ZZ_n$ è un anello e quindi chiuso rispetto alla moltiplicazione. E' giusto?

[mistake89]

Non credo che sia quella la giustificazione. Il fatto che sia un anello ti dice solamente che $ac$ e $bd$ stanno ancora in $ZZ_n$. Quella è una proprietà aritmetica che puoi risolvere secondo la definizione di congruenza modulo $n$.

Infatti se $a \equiv b modn$ equivale a dire che $kn=a-b$ per qualche $k in ZZ$. Analogamente $hn=c-d$ per qualche $h in ZZ$. Allora $ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+(a-b)d=a(hn)+(kn)d=(ah+kd)n$. Da cui $ac \equiv bd mod n$