Congruenza

MissFoxy394
Ciao! :D

Ho dei problemi a risolvere questa congruenza:

31 x = 56 (mod 70)

come posso fare?

Risposte
spugna2
Che tipo di problemi hai? Hai fatto qualche tentativo? (da regolamento dovresti scriverne uno...)

Comunque


MissFoxy394
Grazie per la risposta!

Sì, hai ragione scusa
Il prof l'ha scritta così: $ [x][31] = [56] mod70 $

ho provato a risolverla trovandomi l'MCD e trovando poi l'identità di Bézout che mi veniva
$ 1 = (4)*70 + (-9)*31 $

A quel punto mi sono bloccata.

Non ho mai visto il prof risolvere una congruenza in quel modo (dividendo 70 in 7 e 10).
Si può risolvere continuando il mio procedimento?

spugna2
Se hai trovato i numeri che soddisfano l'identità di Bezout basta moltiplicare tutto per il secondo membro dell'equazione:

$4*70-9*31=1 \Rightarrow 56*4*70-56*9*31=56$

da cui la soluzione $x-= -56*9-=56$ $(mod 70) $.

Per completezza, nel caso non lo avessi mai visto, il procedimento che ho scritto prima usa il teorema cinese del resto: se hai un sistema di equazioni del tipo $x -= a_i $ $(mod b_i) $, dove i $b_i $ sono a due a due coprimi, detto $n $ il prodotto di questi ultimi esiste un unico $x in ZZ\text {/}n ZZ $ che le risolve tutte.

MissFoxy394
In mia difesa, il teorema cinese del resto non l'ha messo in programma e non l'ha fatto :?

Grazie mille per l'aiuto e per la velocità della risposta, ora ho capito! :D :D

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