Congruenza.

[anto_zoolander]

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Dovrei dimostrare questa congruenza: $3n^5+7n^3+2n equiv_12 0$

io ho iniziato ricordando che $12|n <=> 4|n wedge 3|n$

comincio da $equiv_3$

$3n^5+7n^3+2n equiv_3 0+n^3+2n$

per il piccolo teorema di Fermat $n^3 equiv_3 n$

dunque $n^3+2n equiv_3 n + 2n$

e sono giunto alla prima tesi poiché $3n equiv_3 0$

ora finisco con $equiv_4$

intanto se $n$ è pari è sicuramente congruo, ne ho calcolato i residui.
anche se basta sostituire $n=2k$ e si vede subito.

se $n$ è dispari, comincio con questa congruenza:

$3n^5+7n^3+2n equiv_4 3n^5+3n^3+2n$

considero i residui. Le classi dispari di $ZZ_4$ sono $[1],[3]$

${(a equiv_4 1),(a^3 equiv_4 1),(a^5 equiv_4 1):}$

sommando e moltiplicando per i rispettivi numeri

$2a+3a^3+3a^5 equiv_4 2+3+3(=8 equiv_4 0)$

${(a equiv_4 3),(a^3 equiv_4 27),(a^5 equiv_4 243):} => {(a equiv_4 3),(a^3 equiv_4 3),(a^5 equiv_4 3):}$

facendo la stessa cosa...

$2a+3a^3+3a^5 equiv_4 6+9+9(=24 equiv_4 0)$

dato che comunque prendo un dispari, il resto è $0$, posso concludere

Dunque $4|P(n)wedge3|P(n) => 12|P(n)$ e si arriva alla tesi conclusiva.


Chiedo conferme.

[Kashaman]

Sembra corretto

[anto_zoolander]

Danke