Congettura di Goldbach
In università mi è giunta una notizia inquietante e vorrei avere una risposta...
E' stata per caso dimostrata l'indimostrabilità della congettura di goldbach con gli assiomi correnti (se non sbaglio come cohen aveva fatto con l'ipotesi del continuo)?
Poi:
Quali sono i risultati più vicini alla congettura di goldbach? e dove (se possibile) trovare tali dimostrazioni?
Qualche titolo di un bel libro di divulgazione matematica sulla teoria dei numeri primi?
Grazie...
E' stata per caso dimostrata l'indimostrabilità della congettura di goldbach con gli assiomi correnti (se non sbaglio come cohen aveva fatto con l'ipotesi del continuo)?
Poi:
Quali sono i risultati più vicini alla congettura di goldbach? e dove (se possibile) trovare tali dimostrazioni?
Qualche titolo di un bel libro di divulgazione matematica sulla teoria dei numeri primi?
Grazie...
Risposte
No, non è stata dimostrata l'indecidibilità. Per altro, curiosamente, se la congettura di Goldbach fosse indecidibile, sarebbe vera. Quindi avremmo un Teorema vero, ma senza dimostrazione. Questo rende evidente la differenza tra dimostrabilità e verità.
Ci sono parecchi risultati che si avvicinano alla congettura, ma non saprei dove trovarli, ci vorrebbe un teorico dei numeri.
Quanto alla richiesta bibliografica, "L'enigma dei numeri primi" (non ricordo l'autore) è un bel libro divulgativo, centrato sull'ipotesi di Riemann.
Ci sono parecchi risultati che si avvicinano alla congettura, ma non saprei dove trovarli, ci vorrebbe un teorico dei numeri.
Quanto alla richiesta bibliografica, "L'enigma dei numeri primi" (non ricordo l'autore) è un bel libro divulgativo, centrato sull'ipotesi di Riemann.
Allora sarebbe un assioma ?
Ne approfitto per riassumere quello che so di logica (poco, purtroppo) e per chiedervi se le mie conoscenze sono giuste.
In un sistema assiomatico (l'aritmetica per esempio) una affermazione che non sia una congettura é :
vera, falsa o indecidibile.
Una congettura è una affermazione di cui non si sa se è vera, falsa o indecidibile.
Una affermazione vera decidibile è un teorema, oppure una definizione (tautologia ?).
Una affermazione vera indecidibile è un assioma.
Grazie. Arrigo.
Ne approfitto per riassumere quello che so di logica (poco, purtroppo) e per chiedervi se le mie conoscenze sono giuste.
In un sistema assiomatico (l'aritmetica per esempio) una affermazione che non sia una congettura é :
vera, falsa o indecidibile.
Una congettura è una affermazione di cui non si sa se è vera, falsa o indecidibile.
Una affermazione vera decidibile è un teorema, oppure una definizione (tautologia ?).
Una affermazione vera indecidibile è un assioma.
Grazie. Arrigo.
Sì, potrebbe essere presa come assioma, se fosse indecidibile, ma sarebbe decisamente poco elegante, per ovvi motivi.
Potrebbe essere così ?
Se la congettura in questione, che chiamo $p$, fosse una proposizione indecidibile, allora avrei 3 possibilità :
$p$ è vera
$p$ è falsa
$p$ non viene presa in considerazione.
Ciascuna di queste "decisioni d'ufficio" creerebbe aritmetiche diverse ...
Se la congettura in questione, che chiamo $p$, fosse una proposizione indecidibile, allora avrei 3 possibilità :
$p$ è vera
$p$ è falsa
$p$ non viene presa in considerazione.
Ciascuna di queste "decisioni d'ufficio" creerebbe aritmetiche diverse ...
Sodre, io non so quali sono le tue conoscenze di Matematica, ma i teoremi che "si avvicinano"
alla congettura di Goldbach sono estremamente complicati.
Mi pare che il risultato migliore che si conosca è che esiste un numero $N$ tale che ogni numero
naturale è somma di al più $N$ primi. Un altro risultato invece è: esiste un numero $N$ tale che a partire da $N$
tutti i numeri sono somma di due numeri primi ed un altro numero che ha al più due fattori primi.
alla congettura di Goldbach sono estremamente complicati.
Mi pare che il risultato migliore che si conosca è che esiste un numero $N$ tale che ogni numero
naturale è somma di al più $N$ primi. Un altro risultato invece è: esiste un numero $N$ tale che a partire da $N$
tutti i numeri sono somma di due numeri primi ed un altro numero che ha al più due fattori primi.
Per arriama: però non puoi supporre p falsa, perchè p è vera, se è indecidibile. Quindi o la metti come assioma o ignori la sua esistenza, ma se la metti come falsa contraddici il fatto che sia indecidibile.
Può essere che abbia fatto errori, non sono un logico nemmeno io.
Può essere che abbia fatto errori, non sono un logico nemmeno io.
Io pensavo (stando al significato della parola) che "indecidibile" volesse dire che non posso sapere nè che è vera nè che è falsa. Questo, naturalmente, dentro il sistema assiomatico.
Allora, se $p$ è indecidibile, decido io, come "essere umano", cosa fare.
Potrei decidere, per tutta una serie di "buoni motivi", che $p$ è vera, ma potrei decidere anche che è falsa, per altrettanti "buoni motivi".
Ovviamente, dalle due decisioni nascono conseguenze diverse !!!
Esempio eclatante (come l'ho capito io ...).
La geometria euclidea ed il V postulato.
Esso è indecidibile sulla base degli altri quattro.
Allora, se dico che è vero, ottengo la geometria euclidea "canonica". Se dico che è falso, allora ottengo le varie geometrie non euclidee.
Che ne dici ?
Allora, se $p$ è indecidibile, decido io, come "essere umano", cosa fare.
Potrei decidere, per tutta una serie di "buoni motivi", che $p$ è vera, ma potrei decidere anche che è falsa, per altrettanti "buoni motivi".
Ovviamente, dalle due decisioni nascono conseguenze diverse !!!
Esempio eclatante (come l'ho capito io ...).
La geometria euclidea ed il V postulato.
Esso è indecidibile sulla base degli altri quattro.
Allora, se dico che è vero, ottengo la geometria euclidea "canonica". Se dico che è falso, allora ottengo le varie geometrie non euclidee.
Che ne dici ?
il problema è che la congettura di Goldbach è diversa logicamente dal V postulato.
Se la congettura è falsa allora esiste un controesempio che può essere trovato (ad es con
calcolatori estremamente potenti).
Ne segue che se fosse indecidibile, allora non potrebbe essere falsa, perchè altrimenti potrebbe
essere dimostrata la sua falsità trovando il controesempio e quindi non sarebbe più indecidibile.
Ne segue che è vera. Ma non dimostrabile.
Se la congettura è falsa allora esiste un controesempio che può essere trovato (ad es con
calcolatori estremamente potenti).
Ne segue che se fosse indecidibile, allora non potrebbe essere falsa, perchè altrimenti potrebbe
essere dimostrata la sua falsità trovando il controesempio e quindi non sarebbe più indecidibile.
Ne segue che è vera. Ma non dimostrabile.
Ma non potrei dire esattamente la stessa cosa per il V postulato di Euclide ? In cosa consiste la differenza logica fra le due affermazioni ?
Potrei ragionare così.
Declasso il V postulato di Euclide a semplice congettura. Poi faccio lo stesso ragionamento che hai fatto sopra.
"Se la congettura è falsa allora esiste un controesempio ecc. ecc. "
Se con una macchina non riesco a dimostrare una affermazione o a negarla, questo, secondo me (ma ribadisco la mia ignoranza in logica) non significa che l'affermazione è indecidibile. Significa solo che mi serve altro tempo ...
Penso che la computabilità sia un altro tipo di problematica. Ci può essere una affermazione vera, in quanto dimostrabile logicamente partendo dagli assiomi, che però richiederebbe un tempo di calcolo maggiore dell'età dell'universo ...
Potrei ragionare così.
Declasso il V postulato di Euclide a semplice congettura. Poi faccio lo stesso ragionamento che hai fatto sopra.
"Se la congettura è falsa allora esiste un controesempio ecc. ecc. "
Se con una macchina non riesco a dimostrare una affermazione o a negarla, questo, secondo me (ma ribadisco la mia ignoranza in logica) non significa che l'affermazione è indecidibile. Significa solo che mi serve altro tempo ...
Penso che la computabilità sia un altro tipo di problematica. Ci può essere una affermazione vera, in quanto dimostrabile logicamente partendo dagli assiomi, che però richiederebbe un tempo di calcolo maggiore dell'età dell'universo ...
"arriama":
Ma non potrei dire esattamente la stessa cosa per il V postulato di Euclide ? In cosa consiste la differenza logica fra le due affermazioni ?
Non vorrei aver capito male... la geometria euclidea prende come assioma il V postulato di Euclide, potremmo costruire una aritmetica goldbacchiana prendendo come assioma la congettura di Goldbach, nulla ci impedisce di farlo.
Forse ho capito.
La differenza logica fra il V postulato di Euclide e la congettura di Goldbah è che la seconda è computabile con una macchina di Touring mentre il primo no.
E' così ?
Il V postulato è indecidibile però per esso non possono essere costruiti programmi su di una macchina di Touring per trovare un controesempio che lo falsifichi. Per questo motivo esso può essere "deciso" vero o falso.
Giusto ?
Sarebbe bello, se il mio ragionamento è vero, "formalizzare" meglio perchè il V postulato non è computabile ...
Ritornano alla congettura di Goldbach.
Se un giorno si dimostrerà la sua indecidibilità, allora la congettura sarà vera anche se non dimostrabile. Potremo allora promuoverla ad assioma. Non potremo però creare un assioma con la sua negazione ...
La differenza logica fra il V postulato di Euclide e la congettura di Goldbah è che la seconda è computabile con una macchina di Touring mentre il primo no.
E' così ?
Il V postulato è indecidibile però per esso non possono essere costruiti programmi su di una macchina di Touring per trovare un controesempio che lo falsifichi. Per questo motivo esso può essere "deciso" vero o falso.
Giusto ?
Sarebbe bello, se il mio ragionamento è vero, "formalizzare" meglio perchè il V postulato non è computabile ...
Ritornano alla congettura di Goldbach.
Se un giorno si dimostrerà la sua indecidibilità, allora la congettura sarà vera anche se non dimostrabile. Potremo allora promuoverla ad assioma. Non potremo però creare un assioma con la sua negazione ...
"arriama":
La differenza logica fra il V postulato di Euclide e la congettura di Goldbah è che la seconda è computabile con una macchina di Touring mentre il primo no.
esatto
"ubermensch":
Sodre, io non so quali sono le tue conoscenze di Matematica, ma i teoremi che "si avvicinano"
alla congettura di Goldbach sono estremamente complicati.
Mi pare che il risultato migliore che si conosca è che esiste un numero $N$ tale che ogni numero
naturale è somma di al più $N$ primi. Un altro risultato invece è: esiste un numero $N$ tale che a partire da $N$
tutti i numeri sono somma di due numeri primi ed un altro numero che ha al più due fattori primi.
non vorrei sbagliare ma l'ultimo risultato che mi hai dato riguarda la congettura debole di goldbach, ogni numero dispari può essere scritto come somma di tre numeri primi (che poi è quella veramente formulata da goldach, quella che tutti conosciamo è la congettura ed è stata definita da eulero), che dice se non ricordo male: dopo un numero N la congettura debole di goldbach è vera, dimostrato da vinogradov (spero di non sbagliare il nome)...
la congettura "debole" è del tutto equivalente alla congettura "forte"... è solo meno elegante.
Si.. è Vinogradov.. mi hai fatto risovvenire il nome. Egli non ne ha dim la validità, in quanto due
addendi sono primi, ma il terzo no! che io sappia non esiste alcun risultato di quelli che dici te...
Si.. è Vinogradov.. mi hai fatto risovvenire il nome. Egli non ne ha dim la validità, in quanto due
addendi sono primi, ma il terzo no! che io sappia non esiste alcun risultato di quelli che dici te...
"ubermensch":
il problema è che la congettura di Goldbach è diversa logicamente dal V postulato.
Se la congettura è falsa allora esiste un controesempio che può essere trovato (ad es con
calcolatori estremamente potenti).
Ne segue che se fosse indecidibile, allora non potrebbe essere falsa, perchè altrimenti potrebbe
essere dimostrata la sua falsità trovando il controesempio e quindi non sarebbe più indecidibile.
Ne segue che è vera. Ma non dimostrabile.
detta così sembra una dimostrazione per assurdo del tipo:
lemma: Goldbach è indecidibile, ovvero (parole mie, non so nulla, è tardi e provo ad interpolare da quanto dite) all'interno degli attuali assiomi non posso dimostrarne la verità o falsità.
dim lemma: lasciata al lettore per esercizio
dim: per assurdo Goldbach falsa. Allora esiste un contro-esempio. Trovandolo, ne dimostrerei la falsità all'interno della teoria. Contraddizione. Quindi Goldbach vera. c.v.d.
cosa non funziona?
Uhm... Credevo che la forte facesse ricadere la debole come un corollario.
Sbaglio?
Scasa un numero dispari può essere scritto come 2n + 3
2n somma di due primi per goldbach forte.
Quindi goldbach debole è dimostrata...
Sbaglio?
Scasa un numero dispari può essere scritto come 2n + 3
2n somma di due primi per goldbach forte.
Quindi goldbach debole è dimostrata...
Provo a concludere il mio ragionamento.
La congettura di Goldbach è :
- o un teorema vero
- o un teorema falso
- o una proposizione indecidibile vera.
Allora 2 su 3 è vera ...
ps. nel caso fosse una proposizione indecidibile vera, "promuoverla" ad assioma sarebbe "sprecato" in quanto non si distinguerebbe da un teorema vero, sarebbe interna al sistema. Giusto ?
La congettura di Goldbach è :
- o un teorema vero
- o un teorema falso
- o una proposizione indecidibile vera.
Allora 2 su 3 è vera ...
ps. nel caso fosse una proposizione indecidibile vera, "promuoverla" ad assioma sarebbe "sprecato" in quanto non si distinguerebbe da un teorema vero, sarebbe interna al sistema. Giusto ?
... scusate ma è Turing, Alan Turing ...
Rimango perplesso sulla "diversità logica" fra la congettura di Goldbach (supposta indecidibile !!!) ed il V assioma di Euclide.
Supponiamo di costruire una "macchina fisica" che "funziona" utilizzando i primi quattro postulati di Euclide (chiamiamola "macchina di Riemann" perchè mi risulta fu lui il primo (e non Einstein) a porsi il problema della verifica fisica della geometria euclidea).
Sappiamo che il V postulato è logicamente indecidibile sulla base degli altri quattro.
Allora dovrebbe essere vero, perchè altrimenti la "macchina di Riemann" dimostrerebbe che è falso e quindi non sarebbe più indecidibile ...
Dove sta l'inghippo ?
ps. scusate se ho detto delle sciocchezze, ma non possiedo prerequisiti validi in logica.
Rimango perplesso sulla "diversità logica" fra la congettura di Goldbach (supposta indecidibile !!!) ed il V assioma di Euclide.
Supponiamo di costruire una "macchina fisica" che "funziona" utilizzando i primi quattro postulati di Euclide (chiamiamola "macchina di Riemann" perchè mi risulta fu lui il primo (e non Einstein) a porsi il problema della verifica fisica della geometria euclidea).
Sappiamo che il V postulato è logicamente indecidibile sulla base degli altri quattro.
Allora dovrebbe essere vero, perchè altrimenti la "macchina di Riemann" dimostrerebbe che è falso e quindi non sarebbe più indecidibile ...
Dove sta l'inghippo ?
ps. scusate se ho detto delle sciocchezze, ma non possiedo prerequisiti validi in logica.
Io non conosco in modo approfondito la macchina di Turing, però ad intuito vedo la differenza tra la congettura di Goldbach ed il postulato delle parallele.
Infatti il postulato delle parallele è un'affermazione che non dipende dai primi 4 assiomi, ovvero posso supporre che sia vero e costruire la geometria euclidea, oppure posso supporre che sia falso e quindi costruire la geometria non euclidea. Quindi non lo vedo come proposizione indecidibile, lo vedo solo come affermazione che può essere vera con dimostrazione o falsa con dimostrazione in vari contesti.
La congettura di Goldabch è invece diversa: essa riguarda una proprietà dei numeri interi, che sono già definiti, quindi "teoricamente" (e qui credo che serva la macchina di Turing) io posso verificarla andando a far passare i vari casi (?), o meglio se fosse indecidibile e falsa, prima o poi calcolando troverei un controesempio (?). Quindi deve essere vera.
Non lo so, non sono ferrato su queste cose ma la cosa mi interessa, anzi, vado subito a prendere un libro in biblioteca sulla macchina di Turing.
Infatti il postulato delle parallele è un'affermazione che non dipende dai primi 4 assiomi, ovvero posso supporre che sia vero e costruire la geometria euclidea, oppure posso supporre che sia falso e quindi costruire la geometria non euclidea. Quindi non lo vedo come proposizione indecidibile, lo vedo solo come affermazione che può essere vera con dimostrazione o falsa con dimostrazione in vari contesti.
La congettura di Goldabch è invece diversa: essa riguarda una proprietà dei numeri interi, che sono già definiti, quindi "teoricamente" (e qui credo che serva la macchina di Turing) io posso verificarla andando a far passare i vari casi (?), o meglio se fosse indecidibile e falsa, prima o poi calcolando troverei un controesempio (?). Quindi deve essere vera.
Non lo so, non sono ferrato su queste cose ma la cosa mi interessa, anzi, vado subito a prendere un libro in biblioteca sulla macchina di Turing.
"arriama":
Rimango perplesso sulla "diversità logica" fra la congettura di Goldbach (supposta indecidibile !!!) ed il V assioma di Euclide.
Infatti non c'è sostanziale differenza. Provo ad aiutarti a fare chiarezza. Secondo me la confusione deriva dal fatto di non conoscere bene il concetto di verità in un sistema formale. Sia PA l'insieme degli assiomi dell'aritmetica di Peano. Per parlare di verità o falsità di una formula, bisogna specificare un modello nel quale interpretare la formula. Solitamente viene considerato come modello di PA l'insieme dei naturali $(NN,+,*)$. Allora noi ragioniamo che se Goldbach è indecidibile, allora Goldbach è vera se interpretata in $(NN,+,*)$. Tuttavia $(NN,+,*)$ NON è l'unico modello possibile di PA, e anzi dal fatto che Goldbach sia indecidibile, seguirebbe che appunto esiste un modello M di PA in cui Goldbach è falsa.
La stessa cosa vale per la geometria. Per parlare di verità del V postulato dobbiamo specificare un modello. Poiché il V postulato è indecidibile sulla base degli altri quattro, esiste un modello dei primi quattro assiomi in cui è falso e uno in cui è vero. Se consideriamo come modello dei primi quattro assiomi quello canonico, diciamo $RR^2$, allora possiamo domandarci se il V postulato è vero, e la risposta è: ovviamente, SI.
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