Congettura di Gilbreath

[fabioGauss]

Salve a tutti!
Vorrei porre alla vostra cortese attenzione la seguente congettura:
Dal sito Wikipedia enciclopedia libera: http://it.wikipedia.org/wiki/Congettura_di_Gilbreath

In Teoria dei numeri, la Congettura di Gilbreath è un'ipotesi riguardante i numeri primi.
Si scriva un elenco di numeri primi, così:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
successivamente si scriva il modulo della differenza tra due valori consecutivi (3-2=1; 5-3=2; ecc.). Si esegua poi la stessa operazione con la risultante sequenza di numeri. Si otterranno delle sequenze come quelle sottostanti.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 2, ...
In altre parole, ponendo an come un valore della sequenza originale, e bn un valore della sequenza ottenuta, si avrà questa equazione:
bn = | an − an + 1 | .
La congettura di Gilbreath afferma che il primo valore di queste sequenze sarà sempre uguale a 1, eccetto per la sequenza originale dei numeri primi

Ora quello che vorrei condividere con voi è la seguente osservazione: io parto dalla sequenza

1)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
n = 2

Come vedete la sequenza, come dice la congettura, termina in 1.
In rosso e in blu sono segnate le differenze | an − an + 1 | , ma ho colorato l'ultima riga di blu perchè voglio porre alla sua attenzione il numero n (in questo caso = 2)
Tale numero (n = 2) è dato dalla somma della riga blu aumentata di 1 e tutto diviso a metà, ovvero in numeri:


[ (2+0+1) + 1 ] / 2 = 2

Questo numero (n = 2) non è un numero a caso: mi dice che che posso andare avanti con questo algoritmo per generare 2 sequenze (procedendo con l'ordine naturale dei dispari, quindi dopo il 7, trovo il 9 e l' 11) che terminano in 1, infatti posso avere:
1.a)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
9 2 0 0 1
n = 2

e

1.b)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
11 4 2 2 1
n = 5
Badate bene che se io mettessi sotto il 7 il numero 13, ovvero ho la seguente situazione:

2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
13 6 4 4 3

la sequenza non termina in 1, ma termina in 3.
Tolta questa parentesi, torniamo alla 1.a): in questo caso n = 2, dunque ho altre 2 sequenze e sono queste:

1.a.1)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
9 2 0 0 1
11 2 0 0 0 1
n = 2

1.a.2)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
9 2 0 0 1
13 4 2 2 2 1
n = 6

Tornando alla 1.b), ho ben 5 altre sequenze e sono queste:

1.b.1)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
11 4 2 2 1
13 2 2 0 2 1
n = 4

1.b.2)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
11 4 2 2 1
15 4 0 2 0 1
n = 4

1.b.3)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
11 4 2 2 1
17 6 2 0 2 1
n = 6

1.b.4)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
11 4 2 2 1
19 8 4 2 0 1
n = 8

1.b.5)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
11 4 2 2 1
21 10 6 4 2 1
n = 12

Questo è un algoritmo che spiega come costruire le sequenze in modo tale da farle terminare sempre in 1.
La congettura di Gilbreath è un caso particolare in cui la sequenza originale è determinata da soli primi
(si veda il caso 1.b) -> 1.b.1):

1.b)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
11 4 2 2 1
n = 5

1.b.1)
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
11 4 2 2 1
13 2 2 0 2 1
n = 4

Prendendo in esame la 1.b.1) , n = 4 mi dice che ho altre 4 sequenze, e sono

1) (2,3,5,7,11,13,15)
2) (2,3,5,7,11,13,17)
3) (2,3,5,7,11,13,19)
4) (2,3,5,7,11,13,21)

in particolare dalla 2), che è una sequenza di primi "in ordine", si genereranno altre 5 sequenze tra cui la sequenza (2,3,5,7,11,13,17,19), da cui si genereranno altre 4 sequenze tra cui la (2,3,5,7,11,13,17,19,23) e cosi via.
Da questo si evince inoltre che non è una particolarità della sequenza dei numeri primi a far in modo che tramite le differenze | an − an + 1 | si generino sempre sequenze che terminano in 1, ma di qualunque sequenza generata con quell'algoritmo.

L'enunciato della congettura si potrebbe allora enunciare nel seguente modo:
"La sequenza dei valori assoluti delle differenze dei primi ha un certo comportamento..."

E' chiaro che un comportamento del genere dipende non dal fatto che si parta dalla successione dei primi ma che sia una successione che non cresca troppo velocemente, che contiene 2 e poi dispari e che ha "gaps" non troppo ampi.
Insomma la primalità non c'entra molto.
Se la questione è relativa ai "gaps" non troppo ampi, quello che fa l'algoritmo che vi ho descritto è proprio dare una misura del "gap".
Si prenda il caso ad esempio:
2
3 1
5 2 1
7 2 0 1
n = 2

n = 2, ci da proprio misura del "gap", ovvero da questa posso costruire due sequenze distinte:

(2,3,5,7,9)
(2,3,5,7,11)

e che la sequenza
(2,3,5,7,13) non va bene.

Ora siamo stati fortunati perchè con "gap" pari a 2, dopo il 7 abbiamo 9 e 11 ed 11 è proprio un numero primo.
Bisognerebbe vedere se all'interno del "gap" rientra sempre un numero primo, ma simulando l'algoritmo si vede che man mano che la sequenza (2,3,5,7,11,13,17,19....) cresce, anche il "gap" cresce, quindi cresce la possibilità di beccare un primo.

Scusate per il papiro mi farebbe molto piacere sapere cosa ne pensate e vi ringrazio fin da adesso per ogni risposta, se questa argomentazione può essere da spunto alla risoluzione della congettura

Carissimi saluti!!
fabioGauss

[vict85]

Non sono del campo quindi non saprei che dirti comunque: se uno copia da wikipedia è pregato di usare il quote e segnare la fonte (qui è quasi insignificante ma a livelli accademici si chiama plagio ed è un reato). È una buona cosa abituarsi a farlo sempre anche perché quando ti scoprono non fai grosse figure. Oppure puoi sempre scrivere usando parole diverse. Riformulare seguendo una struttura simile non è plagio, per lo meno su queste cose.

Inoltre il forum possiede un editor per le formule e andrebbe usato.

Riguardo alla tua "dimostrazione" immagino non sia altro che un buon esercizio di calcolo. Una dimostrazione in matematica usa dei criteri e non basta far vedere che una formula è giusta per i primi valori per dimostrare che è sempre vera. Se ti interessa l'argomento cerca pubblicazioni su riviste specializzate, vediti le teoria base e ragiona un po' su cosa significa dimostrare. Inoltre fa attenzione quando copi da una fonte di segnarlo bene.