Conferma esercizio Omomorfismi
Buongiornoo!! volevo solo chiedere conferma sullo svolgimento di un esercizio sugli omomorfismi..
Quanti omomorfismi da f:G->H ci sono? con G=D4 e H=Q.
Allora D4= ($ 1, R, R^{2} , R^{3}, T, RT, R^{2}T, R^{3}T $ ), mentre Q = (+1,-1,+i,-i,+j,-j,+k,-k)
allora per determinare gli omomorfismi da D4 a Q...prendo in considerazione i sottogruppi di D4 che in tutto sono 6..i due banali più..H3= ($ 1, R, R^{2} , R^{3} $ ) , H4 = ($ 1,R^{2} $ ), H5= ($ 1, T $ ), H6= ($ 1, RT, R^{2}T, R^{3}T $ ).
Quindi ora procedo prendendo tutti i sottogruppi come possibili ker dell'applicazione da D4 a Q.
es per H3. mando tutti gli elementi di H3 nell'elemento neutro di Q, cioè 1, mentre i rimanenti devo stare attenta agli ordini delle immagini..poichè l'ordine dell'immagine divide l'ordine dell'elemento..e in Q se non sbaglio 1 vabbè ha ord 1, -1 ha ord 2, e tutti gli altri hanno ord 4, quindi per H3 mi viene un omomorfismo poichè gli elem. di H3 vanno in 1, di conseguenza i rimanenti elem. di D4 vanno tutti in -1 poichè è l'unico elemento di ord 2..questo me lo ricavo facendo f(T)=-1 e mi ricavo gli altri....quindi facendo così mi viene un omomorfismo..
Ho fatto la stessa cosa per gli altri sottogruppi ma non viene nessun omomorfismo..
quindi f dovrebbe avere solo 2 omomorfismi, quello per il gruppo banale e quello per il sottogruppo H3..
E' giusto questo svolgimento?..
Quanti omomorfismi da f:G->H ci sono? con G=D4 e H=Q.
Allora D4= ($ 1, R, R^{2} , R^{3}, T, RT, R^{2}T, R^{3}T $ ), mentre Q = (+1,-1,+i,-i,+j,-j,+k,-k)
allora per determinare gli omomorfismi da D4 a Q...prendo in considerazione i sottogruppi di D4 che in tutto sono 6..i due banali più..H3= ($ 1, R, R^{2} , R^{3} $ ) , H4 = ($ 1,R^{2} $ ), H5= ($ 1, T $ ), H6= ($ 1, RT, R^{2}T, R^{3}T $ ).
Quindi ora procedo prendendo tutti i sottogruppi come possibili ker dell'applicazione da D4 a Q.
es per H3. mando tutti gli elementi di H3 nell'elemento neutro di Q, cioè 1, mentre i rimanenti devo stare attenta agli ordini delle immagini..poichè l'ordine dell'immagine divide l'ordine dell'elemento..e in Q se non sbaglio 1 vabbè ha ord 1, -1 ha ord 2, e tutti gli altri hanno ord 4, quindi per H3 mi viene un omomorfismo poichè gli elem. di H3 vanno in 1, di conseguenza i rimanenti elem. di D4 vanno tutti in -1 poichè è l'unico elemento di ord 2..questo me lo ricavo facendo f(T)=-1 e mi ricavo gli altri....quindi facendo così mi viene un omomorfismo..
Ho fatto la stessa cosa per gli altri sottogruppi ma non viene nessun omomorfismo..
quindi f dovrebbe avere solo 2 omomorfismi, quello per il gruppo banale e quello per il sottogruppo H3..
E' giusto questo svolgimento?..
Risposte
$D_4$ non ha solo 6 sottogruppi....ne sono 8 più i 2 banali!
"melli13":
$D_4$ non ha solo 6 sottogruppi....ne sono 8 più i 2 banali!
ah anche...(1, RT), (1,R^2T) e (1,R^3T) ?
si...e pure $$=${1,r^(2),st,ts}$
che cosa è s? 
scusami.....volevo scrivere $$=${1,r^(2),tr,rt}$....di solito sono abituata a scrivere s invece che t..
Allora hai risolto poi...?ora ti dò la mia opinione:
innanzitutto a noi interessano solo i sottogruppi normali che in questo caso sono 4 più i 2 banali. Sfruttando poi il teorema di omomorfismo vediamo che esistono solo 4 omomorfisimi, in cui:
1) $ker(f)=D_(4)$ e $im(f)={1}$
2) $ker(f)={1,r,r^(2),r^(3)}$ e $im(f)={1,-1}$
3) $ker(f)={1,r^(2),t,r^(2)t}$ e $im(f)={1,-1}$
4) $ker(f)={1,r^(2), rt, tr}$ e $im(f)={1,-1}$
Comunque anche io sono alle prese con algebra1....potrei anche avere detto una cavolata...!magari meglio aspettar conferma da qualcuno più preparato di noi...
innanzitutto a noi interessano solo i sottogruppi normali che in questo caso sono 4 più i 2 banali. Sfruttando poi il teorema di omomorfismo vediamo che esistono solo 4 omomorfisimi, in cui:
1) $ker(f)=D_(4)$ e $im(f)={1}$
2) $ker(f)={1,r,r^(2),r^(3)}$ e $im(f)={1,-1}$
3) $ker(f)={1,r^(2),t,r^(2)t}$ e $im(f)={1,-1}$
4) $ker(f)={1,r^(2), rt, tr}$ e $im(f)={1,-1}$
Comunque anche io sono alle prese con algebra1....potrei anche avere detto una cavolata...
!magari meglio aspettar conferma da qualcuno più preparato di noi...
allora io ho riprovato a fare un attimo i sottogruppi di D4..e mi vengono questi..
H1= (1) H2=(D4) H3= ($ 1, R, R^{2} , R^{3} $ ) , H4 = ($ 1,R^{2} $ ), H5= ($ 1, T $ ), H6= ($ 1, RT, R^{2}T, R^{3}T $ ) H7= (1, RT), H8= ($ 1, R^{2} $), H9=($ 1, R^{3} $)....possibile me ne sono persa qualcuno per strada? XD
comunque a questo punto ottenendo tutti i sottogruppi devo controllare prendendo ciascuno di questi come possibile ker dell'applicazione quanti sono gli omomorfismi no?...solo ad es prendo H3 e mando 1,R,R^2,R^3 tutti in 1 ? o in +1,-1? ...
H1= (1) H2=(D4) H3= ($ 1, R, R^{2} , R^{3} $ ) , H4 = ($ 1,R^{2} $ ), H5= ($ 1, T $ ), H6= ($ 1, RT, R^{2}T, R^{3}T $ ) H7= (1, RT), H8= ($ 1, R^{2} $), H9=($ 1, R^{3} $)....possibile me ne sono persa qualcuno per strada? XD
comunque a questo punto ottenendo tutti i sottogruppi devo controllare prendendo ciascuno di questi come possibile ker dell'applicazione quanti sono gli omomorfismi no?...solo ad es prendo H3 e mando 1,R,R^2,R^3 tutti in 1 ? o in +1,-1? ...
Te ne sei persa uno e in più hai scritto H4=H8...
Si se ad esempio prendi H3, visto che dovrebbe essere il nucleo, devi mandare tutti gli elementi nell'elemento neutro di Q e quindi +1. Poi $t$ devi mandarlo in -1 altrimenti il teorema di omomorfismo non si verifica!
Si se ad esempio prendi H3, visto che dovrebbe essere il nucleo, devi mandare tutti gli elementi nell'elemento neutro di Q e quindi +1. Poi $t$ devi mandarlo in -1 altrimenti il teorema di omomorfismo non si verifica!
Oddio vero XD
comunque si ok! ora controllo rifacendo tutto l'esercizio XD Grazie mille comunque!!
comunque si ok! ora controllo rifacendo tutto l'esercizio XD Grazie mille comunque!!
Di niente..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo