Condizioni massimalità di ideale

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Mi sto arrovellando da tutto il giorno su una condizione necessaria e sufficiente espressa nel mio testo di algebra, il Bosch (qui nella dimostrazione del lemma 9), affinché un ideale \(\mathfrak{m}\subset R\) sia massimale è che \(\forall a\in R\setminus\mathfrak{m} \quad Ra+\mathfrak{m}=R\), ovvero che \(\forall a\in R\setminus\mathfrak{m} \quad \exists r\in R,m\in\mathfrak{m}:ra+m=1\).
L'equivalenza\[\forall a\in R\setminus\mathfrak{m} \quad Ra+\mathfrak{m}=R\iff\forall a\in R\setminus\mathfrak{m} \quad \exists r\in R,m\in\mathfrak{m}:ra+m=1\] mi pare conseguenza del fatto che direi che, per un ideale \(\mathfrak{a}\subset R\), si ha che \(\mathfrak{a}=R\iff 1\in\mathfrak{a}\) e quindi, esprimendo l'ideale attraverso i suoi generatori, \((a,\mathfrak{m})=R\iff 1\in(a,\mathfrak{m})\), ma ciò che non riesco a capire è come queste due condizioni equivalgano al fatto che l'unico ideale contenente propriamente \(\mathfrak{m}\) sia $R$...
Qualcuno mi aiuterebbe a farmi passare l'emicrania?
Grazie di cuore a tutti!!!

[ficus2002]

Se $a\notin \mathfrak m$, allora $(a,\mathfrak m)\supset \mathfrak m$, quindi $(a,\mathfrak m)=R$.

[DavideGenova1]

$\infty$ grazie, ficus!!!! Già: se \(a\notin\mathfrak{m}\) allora \((a,\mathfrak{m})\), che è un ideale contenente, ma non coincidente con \(\mathfrak{m}\), deve essere $R$ e, viceversa, se \(\exists a\in R\setminus\mathfrak{m}:Ra+\mathfrak{m}=(a,\mathfrak{m})\subsetneq R\), allora tale ideale \((a,\mathfrak{m})\), che contiene \(\mathfrak{m}\), sarebbe un altro ideale propriamente contenuto in $R$.
Molto bello, questo risultato... L'algebra mi si sta rivelando affascinante quanto e più di quello che immaginavo...