Condizioni di irriducibilità per un polinomio

[mbru]

Sia $q=2^{h}$ e $k=2^{n}$, con $1

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Stickelberger

11 set 2014, 16:45

Suppongo che $n\ge 1$ e che $\alpha,\beta,\gamma\in F_q$ con $\alpha!=0$.
Posso quindi supporre che $\alpha=1$ e $f=X^{2^n}-\beta X -\gamma$.

Lemma. Se $\beta!=\delta^{2^n-1}$ per qualche $\delta\in F_q^{\times}$, allora $f$ e’ riducibile.

Supponiamo quindi che $\beta=\delta^{2^n-1}$ e facciamo il cambiamento di variabile $X\leftarrow X$/$\delta$,
dove $\delta$ e’ come nel Lemma 1. Allora possiamo supporre che $\beta=1$.

Teorema. Il polinomio $f=X^{2^n}-X-\gamma$ e’ irriducibile solo in due casi:

1) $n=1$ e $Tr(\gamma)=1$;
2) $n=2$, $h=[F_q:F_2]$ e’ dispari e $Tr(\gamma)=1$.

Qua $Tr$ indica la mappa traccia $Tr: F_q\rightarrow F_2$, definita da $Tr(x)=x+x^2+\ldots+x^{2^{h-1}}$.

La stessa cosa vale quindi anche per i polinomi di @mbru: possono solo essere irriducibili per $n\le 2$
e per $n=1,2$ c'e' una condizione necessaria e sufficiente facile.

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[Stickelberger]

Suppongo che $n\ge 1$ e che $\alpha,\beta,\gamma\in F_q$ con $\alpha!=0$.
Posso quindi supporre che $\alpha=1$ e $f=X^{2^n}-\beta X -\gamma$.

Lemma. Se $\beta!=\delta^{2^n-1}$ per qualche $\delta\in F_q^{\times}$, allora $f$ e’ riducibile.

Supponiamo quindi che $\beta=\delta^{2^n-1}$ e facciamo il cambiamento di variabile $X\leftarrow X$/$\delta$,
dove $\delta$ e’ come nel Lemma 1. Allora possiamo supporre che $\beta=1$.

Teorema. Il polinomio $f=X^{2^n}-X-\gamma$ e’ irriducibile solo in due casi:

1) $n=1$ e $Tr(\gamma)=1$;
2) $n=2$, $h=[F_q:F_2]$ e’ dispari e $Tr(\gamma)=1$.

Qua $Tr$ indica la mappa traccia $Tr: F_q\rightarrow F_2$, definita da $Tr(x)=x+x^2+\ldots+x^{2^{h-1}}$.

La stessa cosa vale quindi anche per i polinomi di @mbru: possono solo essere irriducibili per $n\le 2$
e per $n=1,2$ c'e' una condizione necessaria e sufficiente facile.