Condizione per composizione iniettiva
Un esercizio mi chiede di enunciare per bene e dimostrare questo fatto:
Se la composizione di due funzioni è iniettiva, allora la più interna è iniettiva.
Siano $f: A \rightarrow B, f(a)=b$ e $g: B \rightarrow C, g(b)=c$ due funzioni la cui composizione $g \circ f$ è iniettiva.
Abbiamo:
$\forall a_1,a_2 \in A$ se $a_1 \ne a_2 \Rightarrow g(f(a_1)) \ne g(f(a_2))$
ma $g(f(a_1)) \ne g(f(a_2)) \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2)$
Perché se per assurdo fosse $f(a_1) = f(a_2)$ allora $g$ non sarebbe una funzione, in quanto per definizione di funzione $\forall b \in B \exists! c \in C : c=g(b)$.
Da $a_1 \ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2)$ segue che $f$ deve forzatamente essere iniettiva.
Ora mi sorge un dubbio. Che la funzione interna $f$ sia iniettiva è una condizione necessaria affinché $g \circ f$ sia iniettiva. Ma non è più sufficiente laddove $f$ sia anche suriettiva. In tal caso anche $g$ deve essere iniettiva, oppure mi sbaglio ?
Se la composizione di due funzioni è iniettiva, allora la più interna è iniettiva.
Siano $f: A \rightarrow B, f(a)=b$ e $g: B \rightarrow C, g(b)=c$ due funzioni la cui composizione $g \circ f$ è iniettiva.
Abbiamo:
$\forall a_1,a_2 \in A$ se $a_1 \ne a_2 \Rightarrow g(f(a_1)) \ne g(f(a_2))$
ma $g(f(a_1)) \ne g(f(a_2)) \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2)$
Perché se per assurdo fosse $f(a_1) = f(a_2)$ allora $g$ non sarebbe una funzione, in quanto per definizione di funzione $\forall b \in B \exists! c \in C : c=g(b)$.
Da $a_1 \ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2)$ segue che $f$ deve forzatamente essere iniettiva.
Ora mi sorge un dubbio. Che la funzione interna $f$ sia iniettiva è una condizione necessaria affinché $g \circ f$ sia iniettiva. Ma non è più sufficiente laddove $f$ sia anche suriettiva. In tal caso anche $g$ deve essere iniettiva, oppure mi sbaglio ?
Risposte
Se $f(a)=f(b)$ allora $gf(a)=gf(b)$; del resto ora $a=b$, e dunque $f$ è iniettiva.
Il tuo dubbio non è molto chiaro, cosa stai chiedendo?
Il tuo dubbio non è molto chiaro, cosa stai chiedendo?
mi chiedo se queste due proposizioni sono vere:
1) se $g \circ f$ è iniettiva allora $f$ è iniettiva (e questo l'ho provato sopra);
2) se $g \circ f$ è iniettiva e $f$ è suriettiva allora sono iniettive sia $f$ che $g$.
1) se $g \circ f$ è iniettiva allora $f$ è iniettiva (e questo l'ho provato sopra);
2) se $g \circ f$ è iniettiva e $f$ è suriettiva allora sono iniettive sia $f$ che $g$.
Ora ho capito. Certo, la 2 è vera perché $f$ è suriettiva; allora $g(a)=g(f(x))$ per un unico $x$.
Ottimo, grazie mille !!!
"algibro":è vera, e bastava con qualche esempio fare vedere che la condizione "\(f\) è suriettiva" non può essere tralasciata...
mi chiedo se queste due proposizioni sono vere:
2) se $g \circ f$ è iniettiva e $f$ è suriettiva allora sono iniettive sia $f$ che $g$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo