Concatenazione ordinali inferiori ad un certo ordinale

[40rob]

Mi era venuta questa curiosità. Se definiamo un'operazione $\sum(i < x)$ che rappresenta la concatenazione in ordine di grandezza degli ordinali $i$ minori di $x$.
Mi chiedevo gli ordinali che soddisfano questa proprietà...

$A)$ $x = \sum(i < x)$

si riesce ad afferrare occhio e croce come dovrebbero essere fatti?
Soddisfano qualche altra proprietà particolare oltre a questa che li caratterizzi meglio?

Tutti gli ordinali che scattano in base alla cardinalità (quelli che non sono equipotenti a nessuno degli inferiori) soddisfano questa proprietà, ma ce ne sono comuneu altri che la soddisfano, anche finiti.

Usando una notazione in base $omega$, i primi quattro (se non mi sono sbagliato) dovrebbero essere questi... (sull'ordinale vuoto $0$ non è definita bene questa operazione perché non c'è nulla da concatenare prima, però per far trovare tutto con definizioni ricorsive infinitarie risulta opportuno scegliere che il risultato sia comunque $0$).

$0 = \sum (i < 0)$
$3 = \sum (i < 3)$
$omega = \sum(i < omega)$
$omega ^ omega = \sum(i < omega ^ omega)$
...

esauriti gli ordinali numerabili, il primo non numerabile che soddisfa questa proprietà è

$omega_1 = \sum(i < omega_1)$

con notazione in base $omega$

$omega ^ (omega_1) = \sum(i < omega ^ (omega_1))$

Per far capire bene come funziona faccio qualche esempio

$\sum(i < (omega + 1)) = 2 * omega$
$\sum(i < (omega + 2)) = 3 * omega + 1$
$\sum(i < (omega + 3)) = 4 * omega + 2$
$\sum(i < (omega + 4)) = 5 * omega + 3$
...
$\sum(i < (2 * omega)) = omega ^ 2$
...

La moltiplicazione e la somma ordinali non sono commutative, usando una convenzione abbastanza diffusa con $2 * omega$ si indica $omega + omega$, mentre con $omega * 2$ si indica $2 + 2 + 2 + 2 + ...$ (si concatena il secondo termine quante volte ne indica il primo, si omettono le parentesi perché l'operazione di concatenazione binaria $+$ è associativa).

Si riesce a dimostrare abbastanza facilmente che gli ordinali maggiori di $omega$ che possono soddisfare quella proprietà sono della forma

$omega ^ x$ per qualche ordinale $x$.

Ma quali siano gli esponenti giusti $x$ che soddisfano la proprietà $(A)$ (oltre agli esponenti che scattano per cardinalità) non riesco a caratterizzarlo bene.
Intuitivamente immagino che si trovi per questi

$omega^(omega^omega)$
$omega^(omega^(omega^omega))$
...
e per quello infinito

$omega ^ (omega ^ (omega ^ (omega ^ (...))))$

Ma non so come mostrarlo. Poi non capisco se oltre a questi ce ne sono ancora altri numerabili, io immagino di sì, quelli che soddisfano la relazione $x = omega^x$ immagino che soddisfino lo stesso quella proprietà.

[megas_archon]

Cosa intendi precisamente con "concatenazione"?

[otta96]

Mi sa che intende la somma.

[megas_archon]

Allora hai provato a mostrare che \(f : \alpha\mapsto \sum_{\beta < \alpha}\beta\) è una funzione normale?

[40rob]

megas_archon in questo contesto con "funzione normale" cosa si intende?

Si intende che quando si applica la funzione a un ordinale limite $x$ (un ordinale senza predecessore) si ha che...

$f(x) = \bigcup{f(y)| y < x}$

In pratica si dovrebbe prendere l'ordinale limite delle sommatorie degli ordinali inferiori per "calcolare" la sommatoria nei punti limite $x$. La definizione "ricorsiva" che avevo in mente era questa.
Per definizione dovrebbe soddisfare questa proprietà qua la sommatoria-concatenazione che avevo in mente, la soddisfa proprio per definizione.

se $x = 0$

0) $\sum (i < x) = 0$ (passo base)

se $x > 0$

1) se $x$ ha predecessore immediato e corrisponde a $y$

$\sum (i < x) = sum(i < y) + y$

2) se $x$ non ha predecessore

$\sum (i < x) = \bigcup{\sum(i < y) | y < x}$.

Però non so se intendi questa cosa qua.

P. S. non ho messo l'indice con la condizione sotto il segno di sommatoria perché diventa microscopico e non si leggeva bene, ho risolto diversamente, abbiate pazienza, spero che si capisca lo stesso.

[megas_archon]

Per mostrare che $f$ è normale, devi mostrare che per ogni ordinale limite \(\lambda\), \(f(\lambda)=\sup_{\alpha < \lambda} f(\alpha)\).

[40rob]

"megas_archon":Per mostrare che $f$ è normale, devi mostrare che per ogni ordinale limite \(\lambda\), \(f(\lambda)=\sup_{\alpha < \lambda} f(\alpha)\).

E' la stessa cosa che ho scritto io, se si usa rappresentare gli ordinali così

$0 = emptyset$
$1 = {emptyset}$
$2 = {emptyset,{emptyset}}$
$3 = {emptyset,{emptyset},{emptyset,{emptyset}}}$
...
$omega = {0, 1, 2, ...}$
$omega + 1 = {0, 1, 2, ..., omega}$
...

è vero che qualsiasi sia la funzione tra ordinali e l'ordinale $x$

$\bigcup{f(y)| y < x}$ è l'estremo superiore di ${f(y)| y < x}$

se si pone con $x$ ordinale limite

$f(x) = \bigcup{f(y)| y < x}$

abbiamo la stessa condizione.
Dato un qualsiasi insieme di ordinali $A$ la loro riunione $\bigcup A$ tira fuori l'estremo superiore dell'insieme $A$. Si trova questa cosa perché ogni ordinale è rappresentato come un insieme che contiene tutti e soli i precedenti ordinali. Ad esempio

$\bigcup {1,3} = \bigcup {{emptyset}, {emptyset,{emptyset},{emptyset,{emptyset}}}} = {emptyset,{emptyset},{emptyset,{emptyset}}} = 3$

Comunque è normale praticamente per definizione la funzione di sommatoria che avevo in mente, ho scritto la definizione prima nell'altro messaggio. La condizione 2) implica immediatamente che nei punti limite soddisfa questa proprietà la funzione.

[megas_archon]

Il fatto è che io ancora non capisco come sia definita la tua funzione: è la somma di tutti gli ordinali minori di uno dato?

[40rob]

"megas_archon":Il fatto è che io ancora non capisco come sia definita la tua funzione: è la somma di tutti gli ordinali minori di uno dato?

Sì, intuitivamente è la somma di tutti gli inferiori di un ordinale dato.
La somma però è un'operazione binaria, questa estensione bisogna comunque definirla in qualche modo.
La definizione l'ho scritta prima col simbolo di sommatoria $\sum$, la riscrivo con una $f(...)$ così magari è più chiaro.

se $x = 0$

0) $f(x) = 0$ (passo base)

se $x > 0$

1) se $x$ ha predecessore immediato e corrisponde a $y$

$f(x) = f(y) + y$

2) se $x$ non ha predecessore

$f(x) = \bigcup{f(y) | y < x}$

- Se $A$ è un insieme di insiemi con $\bigcup A$ indico la riunione generalizzata degli elementi di $A$.
Compare la somma $+$ nella definizione ma la somma è un'operazione binaria, questa $f$ è una specie di sommatoria.
Al punto 2) già ce l'ha incorporata la condizione di normalità. L'ho definita direttamente così perché era inutile complicare le cose.
Già all'inizio prima di scrivere il primo messaggio l'avevo elaborata così.

Immaginavo fosse abbastanza intuitiva ma probabilmente mi sono spiegato una m... fin dall'inizio .

[megas_archon]

Mi sembra che con la tua definizione $f$ sia costante in 0, perché se $x=1$ esso ha predecessore immediato $0$, e $f(1)=f(0)+0=0$. Invece, forse vuoi definire $f(0)=0, f(x)= f(y)+x$ se $x=y+1$ (cosicché $f(1)=1+0=1, f(2)=2+f(1)=2+1=3$ eccetera), e \(f(\lambda)=\sup\{ f\alpha\mid \alpha < \lambda\}\) se $\lambda$ è un ordinale limite. Con questa definizione $f$ è normale per costruzione, ma allora (lemma di Veblen) ha un insieme non vuoto e superiormente illimitato di punti fissi.

Ora, riguardo a come trovarli, è passato molto tempo e ricordo dell'aritmetica meno del rapsodo più povero, ma per esempio puoi postare il tuo argomento del motivo per cui un punto fisso debba essere della forma \(\omega^x\). Un punto fisso è chiaramente \(\omega\), dato che \(f(\omega)=\sup_n \{\binom{n+1}2\mid n < \omega\}=\omega\).

[megas_archon]

A questo punto hai provato a studiare cosa accade agli ordinali successori di \(\omega\)? (Noto solo ora che tu stai facendo una cosa diversa, tu non stai sommando gli ordinali minori di $\alpha$... la tua notazione era veramente imparsabile )

\[\begin{align*}
f(\omega+1) &= f(\omega)+ \omega+1 \\
&=\omega+\omega+1\\
&=2\omega+1\\
f(\omega+2) &= f(\omega+1) + (\omega+2) \\
&=2\omega+1+\omega+2\\
&=2\omega+\omega+2\\
&=3\omega+2 \\
f(\omega+3) &= f(\omega+2)+(\omega+3)\\
&=3\omega+2+\omega+3\\
&=4\omega+3
\end{align*}\] col che uno ora mostra per induzione che \(f(\omega+\omega)=\omega^2+\omega\), e quindi...

[40rob]

"megas_archon":A questo punto hai provato a studiare cosa accade agli ordinali successori di \(\omega\)? (Noto solo ora che tu stai facendo una cosa diversa, tu non stai sommando gli ordinali minori di $\alpha$... la tua notazione era veramente imparsabile )

\[\begin{align*}
f(\omega+1) &= f(\omega)+ \omega+1 \\
&=\omega+\omega+1\\
&=2\omega+1\\
f(\omega+2) &= f(\omega+1) + (\omega+2) \\
&=2\omega+1+\omega+2\\
&=2\omega+\omega+2\\
&=3\omega+2 \\
f(\omega+3) &= f(\omega+2)+(\omega+3)\\
&=3\omega+2+\omega+3\\
&=4\omega+3
\end{align*}\] col che uno ora mostra per induzione che \(f(\omega+\omega)=\omega^2+\omega\), e quindi...

Guarda che hai sbagliato ad applicare la definizione, il risultato corretto è questo...

$f(omega + 1) = f(omega) + omega$ = $2 omega$

1) se $x$ ha predecessore immediato e corrisponde a $y$

$f(x) = f(y) + y$

La mia definizione credo sia corretta, ma bisogna applicarla così com'è scritta.
Comunque se ho ragionato correttamente i punti fissi dovrebbero essere

$0, 3, omega, omega^(omega^x)$ con $x>= 1$

Siccome la funzione ha quella proprietà di cui hai parlato ed è sicuramente crescente già prima di $omega$, ho osservato che trovato un punto fisso $omega$ un altro punto fisso dovesse trovarsi al limite di $f(omega+1), ff(omega+1), fff(omega+1), ...$, trovato questo nuovo punto fisso si prende il suo successore e si fa lo stesso, se si prosegue in questa costruzione una volta collezionali un insieme numerabile di punti fissi si passa al limite e anche questo deve essere un altro punto fisso $x_omega$ si fa $x_omega+1$ e si applica ripetutamente $f$ e così via, se in mezzo a questi punti fissi non ce ne sono altri, dovrebbero essere solo di quella forma là (questo però lo intuisco ma non so dimostrarlo per bene nella situazione specifica).

Che i punti fissi devono essere della forma $omega ^ x$ l'ho afferrato osservando certe cose.
Tutti gli ordinali si possono scrivere in base $omega$ con omega elevato all'esponente massimo che ci sta nell'ordinale senza superarlo. Ogni ordinale maggiore o uguale a $omega$ sarà rappresentabile nella forma

$n*omega ^ x + y$ con $x, n>=1, n < omega$ e $y < n*omega ^ x$, dove $x$ è il massimo esponente che si può trovare per scriverlo in questa forma. (Si ragiona in modo analogo a quando si scrivono i numeri in una certa base, e si può mostrare che gli ordinali si possono scrivere in base omega).
Assunta questa cosa e scritto ogni ordinale così si ha che...

$y$ deve essere uguale a $0$.
Se un ordinale si scrive nella forma

$a + y$ con $y < a$ (con $a$ maggiore o uguale a $omega$)

$f(a + 1) = f(a) + x$

$f(a) >= a$, $a > y$

$f(a) + a > a + y$

$f(a + 1) > a + y$

se $y >= 1$

$f(a + y) > a + y$

quindi possiamo porre $y = 0$

Se $n$ è diverso da $1$ avremmo che

$(n - 1) omega ^ x + omega <= n*omega ^ x$

$s((n - 1) omega^x + omega) = $
$s((n - 1) omega^x) + (n - 1) * omega + ((n - 1)* omega + 1) + ((n - 1) *omega + 2) + ((n - 1) *omega + 3) + ... = $
i $+ 1$, $+ 2$, $+ 3$ finiti vengono assorbiti dall'ordinale maggiore a destra... e si ottiene, scrivendo il risultato in forma moltiplicativa...
$s((n - 1) omega^x) + omega * ((n - 1) * (omega ^ x)) = $
siccome il prodotto è associativo
$s((n - 1) omega^x) + (omega * (n - 1)) * (omega ^ x) = $
$s((n - 1) omega^x) + omega ^ (x + 1) > n * omega ^ x$

se la sommatoria degli inferiori di un numero minore o uguale a quello dato,
è maggiore del numero dato,
a fortiori la sommatoria degli inferiori del numero dato è maggiore del numero dato,
quindi $n$ deve essere uguale a $1$ affinché il numero dato sia un punto fisso altrimenti la sommatoria sarebbe maggiore.

[megas_archon]

[quote]1) se $x$ ha predecessore immediato e corrisponde a $y$

$f(x) = f(y) + y$

La mia definizione credo sia corretta, ma bisogna applicarla così com'è scritta.[/quote]
Questa definizione non può darti quello che vuoi (i numeri triangolari per $n$ finito), perché $x=1$ ha un predecessore immediato, lo zero, e allora \(f(1)=f(0)+0=0\). E \(f(2)=f(1)+1=1). E \(f(3)=f(2)+2=3\).

Guarda che hai sbagliato ad applicare la definizione

$f(omega + 1) = f(omega) + omega$

Certo che ho sbagliato ad applicare la tua, ma non la mia (al netto del fatto che avrei dovuto scrivere \(\omega\cdot 2\) e non \(2\cdot\omega\))! Per ottenere "la somma di tutti gli ordinali minori di $k$" bisogna definire una estensione agli ordinali della funzione che enumera i numeri triangolari -per cui abbiamo una espressione da Gauss in poi-: \(f(n)=\binom{n+1}2\).

[40rob]

"megas_archon":

[quote]1) se $x$ ha predecessore immediato e corrisponde a $y$

$f(x) = f(y) + y$

La mia definizione credo sia corretta, ma bisogna applicarla così com'è scritta.

Questa definizione non può darti quello che vuoi[/quote]

Non ho capito cosa vuoi dire, applica la mia definizione ai finiti e ottieni la somma di quelli minori del numero dato. Per inferiori intendo strettamente inferiori, ho usato in simbono $<$ per chiarire bene la cosa nell'altra notazione.
Io cosa volevo ottenere?
Dato $x$, $f(x)$ (o con la notazione usata all'inizio $sum(i < x)$) somma in ordine tutti gli ordinali strettamente inferiori di $x$, strettamente inferiori vuol dire che a $x$ non ci arrviamo ci fermiamo prima se c'è un punto d'arresto (il predecessore), altrimenti non ci fermiamo.
Dov'è che non funziona?

Fammi un esempio concreto dove non tira fuori la concatenazine di tutti i precedenti di un ordinale dato.

Per lo $0$ già avevo scritto prima che non era propriamente ben definita ma conveniva scegliere $0$.

[megas_archon]

Immaginavo fosse abbastanza intuitiva ma probabilmente mi sono spiegato una m... fin dall'inizio

Hai spiegato la tua domanda con una terminologia non standard (concatenazione?!), e usando una notazione con le sommatorie i cui indici sono messi a caso, questo [mi] ha reso completamente impossibile comprendere esattamente cosa chiedessi.

La tua funzione $f$ dà i numeri triangolari "shiftati", la mia $g$ li dà subito, ma è evidente che \(f(n+1)=g(n)\).

Capito questo, ti faccio un esempio di come questa domanda avrebbe potuto essere fatta [con in più la correzione che mi hai appena fatto] in un modo più comprensibile, che è il modo in cui l'ho fatta in un altro gruppo, dato che mi interessava saperne di più. (Sono un fan di queste facezie come "estendere \(n\mapsto \binom{n+1}2\) agli ordinali infiniti")

Define a function \(f : {\sf Ord}\to {\sf Ord}\) on ordinals as follows
\[\begin{cases}f(0) = 0\\
f(x+1) = f(x) + x\\
f(\alpha) = \sup \{ f(x) | x < \alpha \}
\end{cases}\]
where the sum is intended as the ordinal sum.
Note that $f(n)$ is the $n$-th triangular number, and that f is defined by "just don't stop counting the sum of all consecutive integers, treat them as ordinals and proceed".

Basically by definition, f is a normal function, so by Veblen lemma has a nonempty, unbounded class of fixpoints. For example, omega is a fixpoint. Is it possible to find *all* fixpoints of f, and how?

[40rob]

"megas_archon":

Immaginavo fosse abbastanza intuitiva ma probabilmente mi sono spiegato una m... fin dall'inizio

Hai spiegato la tua domanda con una terminologia non standard (concatenazione?!), e usando una notazione con le sommatorie i cui indici sono messi a caso, questo [mi] ha reso completamente impossibile comprendere esattamente cosa chiedessi.

La tua funzione $f$ dà i numeri triangolari "shiftati", la mia $g$ li dà subito, ma è evidente che \(f(n+1)=g(n)\).

Capito questo, ti faccio un esempio di come questa domanda avrebbe potuto essere fatta [con in più la correzione che mi hai appena fatto] in un modo più comprensibile, che è il modo in cui l'ho fatta in un altro gruppo, dato che mi interessava saperne di più. (Sono un fan di queste facezie come "estendere \(n\mapsto \binom{n+1}2\) agli ordinali infiniti")

Define a function \(f : {\sf Ord}\to {\sf Ord}\) on ordinals as follows
\[\begin{cases}f(0) = 0\\
f(x+1) = f(x) + x\\
f(\alpha) = \sup \{ f(x) | x < \alpha \}
\end{cases}\]
where the sum is intended as the ordinal sum.
Note that $f(n)$ is the $n$-th triangular number, and that f is defined by "just don't stop counting the sum of all consecutive integers, treat them as ordinals and proceed".

Basically by definition, f is a normal function, so by Veblen lemma has a nonempty, unbounded class of fixpoints. For example, omega is a fixpoint. Is it possible to find *all* fixpoints of f, and how?

All'inizio non ho scritto la definizione perché pensavo fosse intuitiva (ma mi sbagliavo ), però poi l'ho scritta.
Ma in ogni caso adesso che ho chiarito la funzione quale è, è corretto che i punti fissi sono

$0$, $3$, $omega ^ (omega ^ x)$ con $x >= o$?


La parte che a me manca è questa, non so se da $omega$ in poi applicando quel procedimento, potrebbero essercene altri in mezzo a quelli.
Perché quelli che prende quel procedimento sono solo di quella forma là occhio e croce riesco a mostrarlo, ma non riesco a dimostrare che i punti fissi sono solo quelli che vengono fuori da quel procedimento a partire da $omega$.

se

$f(omega^x) = omega^x$

allora sono valide

$f(omega ^ x + 1) = 2 * omega ^ x$
$ff(omega ^ x + 1) = f(2 * omega ^ x) = omega ^ (2*x)$
$fff(omega ^ x + 1) = f(omega ^ (2*x)) = omega ^ (3*x)$
$ffff(omega ^ x + 1) = f(omega ^ (3*x)) = omega ^ (5*x)$
$fffff(omega ^ x + 1) = f(omega ^ (5*x)) = omega ^ (9*x)$
$ffffff(omega ^ x + 1) = f(omega ^ (9*x)) = omega ^ (17*x)$
...
il limite di questa successione è un punto fisso. Se si parte da $omega$ abbiamo che

omega ^ omega (si riapplica lo stesso procedimento a $omega ^ omega + 1$ e si ottiene)
omega ^ (omega ^ 2)
omega ^ (omega ^ 3)
...
omega ^ (omega ^ omega)
omega ^ (omega ^ (omega + 1))
omega ^ (omega ^ (omega + 2))
...

e così via, dovrebbero essere tutti punti fissi, se ho ragionato bene e quell'insieme di proprietà precedenti sono corrette. Ora però non so come mostrare che non ce ne sono altri in mezzo. (l'ho scritto senza i segni del dollaro se no non si leggeva nulla). Ogni volta che si ottiene un nuovo punto fisso col procedimento si somma l'unità e si applica a ripetizione "f" per poi calcolare il limite della successione, una volta che si ottiene un insieme di punti fissi col procedimento si calcola il limite di questi punti fissi che dovrà essere per forza un altro punto fisso.

Ma tu conosci già la soluzione immagino. Dimmi solo se è corretto quello che ho scritto in relazione alla $f$.

Dovrei riuscire a mostrare che anche all'esponente capita qualcosa di analogo alla base. Se l'esponente è scritto nella forma in base omega...

(omega ^ (n*(omega ^ x) + y))

se $x >=1$ per essere un punto fisso dovrei mostrare che deve essere per forza $n = 1$ e $y = 0$, e ho completato, gli altri dovrebbero essere già tutti punti fissi, sempre se ho ragionato correttamente in relazione alle proprietà elencate prima.

[megas_archon]

\(f(\omega^x+1)=2\cdot\omega^x\)

No, \(f(\omega^x+1)=\omega^x+\omega^x=\omega^x\cdot 2\) che è molto diverso (\(2\omega^x=\omega^x\); anche io ho iniziato a fare dei conti facendo questo errore, ma porta molto in fretta a dei fraintendimenti). Tutto ciò, ovviamente, assumendo di sapere che \(\omega^x\) è un punto fisso per qualche $x$: ma ad esempio, \(f(\omega^2)=f(\sup\{\omega\cdot n\mid n<\omega\})=\sup\{f(\omega\cdot n)\mid n<\omega\}\), una espressione chiusa per \(f(\omega\cdot n)\) si può trovare per induzione, però ecco insomma, non è una cosa che si vede ad occhio: è il sup di
\[\begin{cases}
f(\omega2)&=\sup\{f(\omega+n)\mid n<\omega\}\\
f(\omega 3)&=\sup\{f(\omega2+n)\mid n<\omega\}\\
f(\omega 4)&=\sup\{f(\omega3+n)\mid n<\omega\}\\
&\vdots
\end{cases}\]

\(f(\omega^x\cdot 2)=\omega^{2x}\) [semmai \(\omega^{x2}\)?]

Convincimene: per calcolare \(f(\omega^x\cdot 2)\) bisogna fare \(\sup\{f\alpha \mid \alpha < \omega^x2\}\), e da qui?

[40rob]

"megas_archon":

\(f(\omega^x+1)=2\cdot\omega^x\)

No, \(f(\omega^x+1)=\omega^x+\omega^x=\omega^x\cdot 2\) che è molto diverso (\(2\omega^x=\omega^x\); anche io ho iniziato a fare dei conti facendo questo errore, ma porta molto in fretta a dei fraintendimenti). Tutto ciò, ovviamente, assumendo di sapere che \(\omega^x\) è un punto fisso per qualche $x$: ma ad esempio, \(f(\omega^2)=f(\sup\{\omega\cdot n\mid n<\omega\})=\sup\{f(\omega\cdot n)\mid n<\omega\}\), una espressione chiusa per \(f(\omega\cdot n)\) si può trovare per induzione, però ecco insomma, non è una cosa che si vede ad occhio: è il sup di
\[\begin{cases}
f(\omega2)&=\sup\{f(\omega+n)\mid n<\omega\}\\
f(\omega 3)&=\sup\{f(\omega2+n)\mid n<\omega\}\\
f(\omega 4)&=\sup\{f(\omega3+n)\mid n<\omega\}\\
&\vdots
\end{cases}\]

\(f(\omega^x\cdot 2)=\omega^{2x}\) [semmai \(\omega^{x2}\)?]

Convincimene: per calcolare \(f(\omega^x\cdot 2)\) bisogna fare \(\sup\{f\alpha \mid \alpha < \omega^x2\}\), e da qui?

L'ho scritto nei messaggi precedenti che usavo la notazione $2*omega = omega + omega$.
Ma si può usare per convenzione che $omega * 2 = omega + omega$.
Alcuni utilizzano la prima forma, altri la seconda, basta che ci si capisce, uso la mia se no nel proseguire mi imbroglio.
Allora per proseguire ho ragionato così con $n$ finito

$f(n * omega ^ x) = f((n - 1 )*omega^x + omega^x) =$
$= f((n - 1)*omega^x) + ((n - 1) * omega ^ x) + ((n - 1) * omega ^ x + 1) + ((n - 1) * omega ^ x + 2) + ... = $
fino a che l'aggiunta è minore di $omega^x$.
Le parti che si aggiungono essendo minori dell'ordinale successivo in questa sommatoria vengono assorbite e rimane solo $(n - 1) * omega^x$ che viene sommato $omega^x$ volte.
$ = f((n - 1) * omega^x) + (omega^x) * ((n - 1) * omega ^ x)=$
$ = f((n - 1) * omega^x) + (omega^x) * (omega^x) =$
$ = f((n - 1) * omega^x) + (omega^(2*x))$

Se si ripete lo stesso ragionamento su $(n - 1) * omega ^ x$ si ottiene (dato che il primo $omega^x$ avendo un esponente minore verrà assorbito) che per tutti gli $n >= 2$

$f(n * omega^x) = (n - 1) * omega^(2*x)$

Passando al limite facendo avvicinare $n$ a $omega$ otteniamo

$f(omega * omega^x) = omega * omega^(2*x)$

$f(omega^ (x + 1)) = omega ^ (2*x + 1)$

Dopo proseguo col ragionamento, controlla magari se fino a qua fila.

[megas_archon]

L'ho scritto nei messaggi precedenti che usavo la notazione

purtroppo fare così dà adito a errori, anche io ho sbagliato molte volte a fare questo conto perché scrivevo la moltiplicazione nell'ordine che volevo. Ma \(2\omega=\omega\), mentre \(\omega 2:=\omega+\omega\) e se inizi a confonderli, dato che a volte una espressione riduce a \(2\omega\), altre a \(\omega 2\), come ti giri sbagli; la differenza la fa il fatto che la somma ordinale non è, purtroppo, commutativa.

Per questo motivo non ha senso che io legga quello che hai scritto dopo, potrebbe essere giusto come non avere alcun senso, e non c'è modo di saperlo finché non usi una disciplina più forte per denotare le addizioni.

Due pensieri che non espanderò, perché ho già il mio teorema pasquale che non torna e che mi sta facendo incazzare molto.

1. Hai provato a ridurre l'output di $f$ in forma di Cantor? Probabilmente rende più facile fare un educated guess su chi sono i punti fissi.
2. Ci sono diverse applet online per la riduzione in forma normale di un ordinale, hai provato a fare il conto con quelle?

[40rob]

Ma ha senso visto che se $2 * omega$ significa mettere in fila omega due volte poi $omega * 2$ significa mettere in fila $2$ omega volte e perciò sarà uguale a omega con la notazione che ho usato.
Che incongruenze si creano? Nessuna. È una convenzione diversa, siccome ho già impostato tutto cosí ho difficoltà ad invertire. Comunque se riesco inverto tutto con l'altra notazione e riscrivo tutto il ragionamento fino a quel punto (devo solo spostare i fattori da sinistra a destra a specchio.

Riscrivendo ho visto che c'era un errore dopo, ma fino al punto che ho scritto, andava bene.
Se serve quella proprietà dimostrata alla fine dell'altro messaggio, credo sia corretta.

Nel caso hai qualche idea posta tutto. Quelle proprietà che valgono per il primo punto fisso $omega^1$ non so se sono estendibili agli altri

Buona serata.

[40rob]

"megas_archon":

\(f(\omega^x\cdot 2)=\omega^{2x}\) [semmai \(\omega^{x2}\)?]

Convincimene: per calcolare \(f(\omega^x\cdot 2)\) bisogna fare \(\sup\{f\alpha \mid \alpha < \omega^x2\}\), e da qui?

Questo lo riesco a calcolare in generale, assumendo però che $omega^x$ è un punto fisso e $x$ non è nullo. Per le altre applicazioni di $f$ credevo di riuscirci, ma c'era un errore nel ragionamento a seguire, ho scambiato un valore costante per una variabile.
(uso la notazione moltiplicativa come piace a te, ma ripeto, è una convenzione)

$f(omega^x + omega^x) = f(omega^x) + omega^x + (omega^x + 1) + (omega^x + 2) + ... + (omega^x + omega) + ...$

ora quello che si aggiunge dietro a $omega^x$ (tra le parentesi), cioé $1, 2, omega, ...$ è sempre minore di $omega^x$, quindi l'ordinale successivo che inizia sempre con $omega^x$ lo assorbe... La sommatoria infinita perciò si riduce a

$f(omega^x + omega^x) = f(omega^x) + omega^x + omega^x + (1 + omega^x) + (2 + omega^x) + ... + omega^x + (omega + omega^x) + ...$

$f(omega^x + omega^x) = f(omega^x) + omega^x + omega^x + omega^x + omega^x + ... + omega^x + omega^x + omega^x +...$

Nelle posizioni dell'"ordinale sommatoria" ci finiscono solo $omega^x$, le posizioni di che tipo di ordine sono? Di come sono disposti gli ordinali minori di $omega^x$, cioé il tipo di ordine rappresentato proprio da $omega^x$.
Quindi per calcolare la somma che si trova a seguire bisogna moltiplicare $omega^x * omega^x$.
Otteniamo così

$f(omega^x + omega^x) = f(omega^x) + omega^(x*2) = omega^x + omega^(x*2) = omega^(x*2)$

La seconda uguaglianza vale perché $omega^x$ abbiamo assunto che è un punto fisso, l'ultima uguaglianza vale perché l'esponente $x*2$ è maggiore di $x$, dato che non è nullo $x$ e $omega$ elevato all'esponente maggiore assorbe l'altro addendo.

Sto cercando di mettere a posto l'altra "dimostrazione" dove calcolo anche le altre applicazioni di $f$, ma non ci sono riuscito ancora.
Dovrebbe valere in generale (indipendentemente dal fatto che si assume che $omega^x$ è punto fisso) che, dato un $n$ finito maggiore o uguale ad $1$ e $x$ non nullo.

$omega ^ (x * (2*n - 1)) <= f(omega^ (x * n)) <= omega^ (x * (2*n))$

La prima disuguaglianza vale perché $omega^x * (n - 1)$ viene ripetuto e compare nella sommatoria almeno $omega^ (x * n)$ volte, la seconda perché se si sostituisce un addendo maggiore ad ogni addendo di una sommatoria illimitata si otterrà un ordinale maggiore o uguale a quello che corrisponde al risultato della sommatoria.
Sono convinto però che se $omega^x$ è punto fisso prende il valore minino di quell'intervallo, ma ancora non sono riuscito a tirare fuori una cosa che mi persuada al 100%.