Concatenazione ordinali inferiori ad un certo ordinale

[40rob]

Mi era venuta questa curiosità. Se definiamo un'operazione $\sum(i < x)$ che rappresenta la concatenazione in ordine di grandezza degli ordinali $i$ minori di $x$.
Mi chiedevo gli ordinali che soddisfano questa proprietà...

$A)$ $x = \sum(i < x)$

si riesce ad afferrare occhio e croce come dovrebbero essere fatti?
Soddisfano qualche altra proprietà particolare oltre a questa che li caratterizzi meglio?

Tutti gli ordinali che scattano in base alla cardinalità (quelli che non sono equipotenti a nessuno degli inferiori) soddisfano questa proprietà, ma ce ne sono comuneu altri che la soddisfano, anche finiti.

Usando una notazione in base $omega$, i primi quattro (se non mi sono sbagliato) dovrebbero essere questi... (sull'ordinale vuoto $0$ non è definita bene questa operazione perché non c'è nulla da concatenare prima, però per far trovare tutto con definizioni ricorsive infinitarie risulta opportuno scegliere che il risultato sia comunque $0$).

$0 = \sum (i < 0)$
$3 = \sum (i < 3)$
$omega = \sum(i < omega)$
$omega ^ omega = \sum(i < omega ^ omega)$
...

esauriti gli ordinali numerabili, il primo non numerabile che soddisfa questa proprietà è

$omega_1 = \sum(i < omega_1)$

con notazione in base $omega$

$omega ^ (omega_1) = \sum(i < omega ^ (omega_1))$

Per far capire bene come funziona faccio qualche esempio

$\sum(i < (omega + 1)) = 2 * omega$
$\sum(i < (omega + 2)) = 3 * omega + 1$
$\sum(i < (omega + 3)) = 4 * omega + 2$
$\sum(i < (omega + 4)) = 5 * omega + 3$
...
$\sum(i < (2 * omega)) = omega ^ 2$
...

La moltiplicazione e la somma ordinali non sono commutative, usando una convenzione abbastanza diffusa con $2 * omega$ si indica $omega + omega$, mentre con $omega * 2$ si indica $2 + 2 + 2 + 2 + ...$ (si concatena il secondo termine quante volte ne indica il primo, si omettono le parentesi perché l'operazione di concatenazione binaria $+$ è associativa).

Si riesce a dimostrare abbastanza facilmente che gli ordinali maggiori di $omega$ che possono soddisfare quella proprietà sono della forma

$omega ^ x$ per qualche ordinale $x$.

Ma quali siano gli esponenti giusti $x$ che soddisfano la proprietà $(A)$ (oltre agli esponenti che scattano per cardinalità) non riesco a caratterizzarlo bene.
Intuitivamente immagino che si trovi per questi

$omega^(omega^omega)$
$omega^(omega^(omega^omega))$
...
e per quello infinito

$omega ^ (omega ^ (omega ^ (omega ^ (...))))$

Ma non so come mostrarlo. Poi non capisco se oltre a questi ce ne sono ancora altri numerabili, io immagino di sì, quelli che soddisfano la relazione $x = omega^x$ immagino che soddisfino lo stesso quella proprietà.

[40rob]

Adesso ho una prova abbastanza convincente, dimostro solo una delle applicazioni di $f$, le altre si dimostrano in modo analogo, per fare poi una dimostrazione generale che le comprenda tutte bisogna usare una variabile.
Comunque ora mostro che è valido in generale che.

$f(omega^((omega^x) * 2)) = omega^((omega^x) * 3)$

questa cosa è indipendente da ipotesi relative a punti fissi, vale per tutti gli ordinali di questa forma qua.

1) Mostriamo prima che

$omega^((omega^x) * 3) <= f(omega^((omega^x) * 2))$


questa cosa è valida perché

$f(omega^((omega^x) * 2)) = f(omega^(omega^x)) + omega^(omega^x) + (omega^(omega^x) + 1) + (omega^(omega^x) + 2) + ... $

Nella sommatoria $omega^(omega^x)$ (termine che otteniamo togliendo un'unità al $2$ moltiplicativo nell'esponente) compare $omega^((omega^x) * 2)$ volte (in senso ordinale) quindi tutta la sommatoria deve avere un valore maggiore o uguale al prodotto

$omega^(omega^x) * omega^((omega^x) * 2)$ che è uguale a

$omega^((omega^x) * 3)$.


2) Mostriamo che

$f(omega^((omega^x) * 2)) <= omega^((omega^x) * 3)$


per dimostrare questa cosa dimostriamo che


per ogni $y < omega^((omega^x) * 2)$ si ha che $f(y) < omega^((omega^x) * 3)$


Se tutti i valori delle somme parziali (dei minori) sono minori del valore $omega^((omega^x) * 3)$ vuol dire che la sommatoria totale (essendo il limite delle somme parziali) è minore o uguale a $omega^((omega^x) * 2)$.

Siccome vale sempre $f(y) <= y ^ 2$ qualsiasi sia $y$ (l'ho spiegato nel messaggio precedente) mostriamo che

Se $y < omega^((omega^x) * 2)$ allora $y ^ 2 < omega^((omega^x) * 3)$.

Se dimostriamo che tutti i quadrati degli $y$ sono minori di $omega^((omega^x) * 3)$ siccome le sommatorie sono minori o uguali ai quadrati, a fortiori tutte le sommatorie degli $y$ saranno minori di $omega^((omega^x) * 3)$.

una successione ordinale che si avvicina sempre di più al valore $omega^((omega^x) * 2)$ è data dagli ordinali della forma

$omega^((omega^x) + z)$ con $z < omega^x$

Qualsiasi valore $y < omega^((omega^x) * 2)$ verrà superato prima o poi da qualche $omega^((omega^x) + z)$ dato che quel tipo di ordinali fanno aumentare l'esponente di $omega$ il più possibile.
Se quadriamo questi termini, otteniamo...

$omega^((omega^x + z) + (omega^x + z)) =$

$= omega^((omega^x) * 2 + z) < omega^((omega^x) * 3)$

dato che $z
Le due disuguaglianze 1) e 2) provano l'identità che si voleva dimostrare.




Osservazione. Tutte le altre uguaglianze si determinano in modo analogo, ad esempio per mostrare che

$f(omega^((omega^x) * 3)) <= omega^((omega^x) * 5)$

bisogna prendere gli $y$ inferiori di $omega^((omega^x) * 3)$ e mostrare che $y^2 < omega^((omega^x) * 5)$ usando la successione ordinale che si avvicina di più a $omega^((omega^x) * 3)$, cioé...

$omega^((omega^x) * 2 + z) $ con $z < omega^x$

se si quadra un qualsiasi termine di questo tipo il termine resta strettamente minore di $omega^((omega^x) * 5)$.




Quindi ora sono abbastanza sicuro che

$0, 3, omega^(omega^x)$ (quando $x = 0$ viene fuori anche $omega$)

sono tutti e soli i punti fissi di $f$, la traccia di dimostrazione precedente esclude anche gli altri casi ancora possibili.
Se avete bisogno di chiarimenti scrivete, ho un po' compattato tutto se no diventava troppo lungo il discorso.

P. S. Negli ultimi messaggi ho usato la notazione moltiplicativa più diffusa, io mi ero abituato a quella inversa, ma comunque mi sono adeguato.