Comun divisori
Ciao a tutti, ho un dubbio su una dimostrazione.
Dati due numeri interi, come è possibile dimostrare che il comun divisore più grande è sempre divisibile per qualunque altro dei divisori comuni?
Grazie.
Dati due numeri interi, come è possibile dimostrare che il comun divisore più grande è sempre divisibile per qualunque altro dei divisori comuni?
Grazie.
Risposte
Può darsi che sia come dite voi e che Di Martino dia scontata l'esistenza del MCD anche se non mi sembra un granché corretto dal punto di vista logico.
Puoi postare le foto o le scansioni delle pagine "incriminate", a partire da quella che contiene la definizione di massimo comune divisore?
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
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Ecco, queste sono le due pagine, spero si leggano abbastanza. In fondo a pagina 49 c'è la definizione di MCD e all'inizio di pagina 50 c'è il teorema
Comunque secondo me non è vero, ad esempio se prendiamo $a=6$ e $b=8$ si ha che $d=-2$ è un MCD, ma $1$ è un divisore comune di a e b, però $d<1$.
"otta96":
Comunque secondo me non è vero, ad esempio se prendiamo $a=6$ e $b=8$ si ha che $d=-2$ è un MCD, ma $1$ è un divisore comune di a e b, però $d<1$.
Il teorema è giusto perché nel testo il MCD è definito sempre positivo quindi nel tuo caso sarebbe 2 e non -2. Sono arrivato alla conclusione che come qualcuno ha detto probabilmente l'esistenza del MCD è data per scontata anche se è dimostrata dopo.
Ho letto le due pagine che hai postato ma il Di Martino non dà per scontato che il MCD esista ... al punto 4.26 lo definisce ma la definizione di un oggetto non ne implica la sua esistenza (p.es. posso dare la definizione di "unicorno": animale esattamente simile ad un cavallo ma con un lungo corno posto in fronte, però ciò non significa che esista realmente).
Nel successivo esercizio 4.28 non è (ancora) necessaria la sua esistenza perché esso dice che dato un numero con certe caratteristiche allora lo possiamo chiamare MCD: non si afferma ne si richiede la sua esistenza ma solamente l'equivalenza tra l'MCD (casomai esista) ed un numero che possiede alcune proprietà.
IMHO ...
Cordialmente, Alex
Nel successivo esercizio 4.28 non è (ancora) necessaria la sua esistenza perché esso dice che dato un numero con certe caratteristiche allora lo possiamo chiamare MCD: non si afferma ne si richiede la sua esistenza ma solamente l'equivalenza tra l'MCD (casomai esista) ed un numero che possiede alcune proprietà.
IMHO ...
Cordialmente, Alex
Io non leggo da nessuna parte che l'MCD debba essere positivo, in particolare non nella definizione.
Ma sì, lo dice all'inizio della seconda pagina, dopo la dimostrazione ... "Stabiliamo per convenzione ..."
Ok, ora l'ho visto, grazie di avermelo fatto notare.
"axpgn":
Ho letto le due pagine che hai postato ma il Di Martino non dà per scontato che il MCD esista ... al punto 4.26 lo definisce ma la definizione di un oggetto non ne implica la sua esistenza (p.es. posso dare la definizione di "unicorno": animale esattamente simile ad un cavallo ma con un lungo corno posto in fronte, però ciò non significa che esista realmente).
Nel successivo esercizio 4.28 non è (ancora) necessaria la sua esistenza perché esso dice che dato un numero con certe caratteristiche allora lo possiamo chiamare MCD: non si afferma ne si richiede la sua esistenza ma solamente l'equivalenza tra l'MCD (casomai esista) ed un numero che possiede alcune proprietà.
IMHO ...
Cordialmente, Alex
Alex ma infatti è proprio quello il problema. Se non si suppone l'esistenza a priori mi sembra impossibile in questo caso dimostrare L'equivalenza senza tirare in ballo altri concetti tipo scomposizioni in fattori primi. Dedurre che il comun divisore più grande è divisibile per qualunque altro divisore comune usando solo gli strumenti a disposizione non mi sembra fattibile, quindi l'unica strada è che davvero l'autore dia per scontata l'esistenza
Non riesco a farmi capire ...
Per la definizione al punto 4.26 e per l'esercizio al punto 4.28 NON è necessaria l'esistenza a priori del MCD ...
La definizione di un oggetto non ne implica l'esistenza: sei d'accordo su questo?
Nell'esercizio si afferma l'equivalenza tra un numero con certe caratteristiche e un certo oggetto, il fatto che numero e oggetto esistano o meno non inficia il valore di verità dell'equivalenza, la proposizione è vera indipendentemente dalla loro reale esistenza (e bobus l'ha dimostrato).
Cordialmente, Alex
Per la definizione al punto 4.26 e per l'esercizio al punto 4.28 NON è necessaria l'esistenza a priori del MCD ...
La definizione di un oggetto non ne implica l'esistenza: sei d'accordo su questo?
Nell'esercizio si afferma l'equivalenza tra un numero con certe caratteristiche e un certo oggetto, il fatto che numero e oggetto esistano o meno non inficia il valore di verità dell'equivalenza, la proposizione è vera indipendentemente dalla loro reale esistenza (e bobus l'ha dimostrato).
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Non riesco a farmi capire ...
Per la definizione al punto 4.26 e per l'esercizio al punto 4.28 NON è necessaria l'esistenza a priori del MCD ...
La definizione di un oggetto non ne implica l'esistenza: sei d'accordo su questo?
Nell'esercizio si afferma l'equivalenza tra un numero con certe caratteristiche e un certo oggetto, il fatto che numero e oggetto esistano o meno non inficia il valore di verità dell'equivalenza, la proposizione è vera indipendentemente dalla loro reale esistenza (e bobus l'ha dimostrato).
Cordialmente, Alex
Appunto Alex. Lo so che non implica l'esistenza, ma dimostrare l'implicazione vuol dire mostrare che il maggiore tra tutti i divisori comuni verifica le due condizioni date nella definizione di MCD, giusto? Siccome la prima condizione (cioè che sia un divisore comune) è per ipotesi, il tutto si riduce a dimostrare che vale anche la seconda. Il tutto senza assumere l'esistenza a priori perché l'esistenza se leggi l'enunciato sarebbe proprio quello che devi dimostrare. Immagina che io ti do la definizione di MCD come nel libro e poi ti dico dimostrami che il maggiore tra tutti i divisori comuni verifica quelle condizioni, praticamente ti sto chiedendo di provare due cose: la prima è che il MCD esiste sempre (in quanto il massimo dell'insieme dei divisori comuni esiste sempre) e la seconda è che è appunto uguale al più grande tra tutti i divisori comuni. Se tu dai per implicito che già esiste a priori (come per esempio fa bobus nella dimostrazione) stai prendendo la scorciatoia in quanto il teorema dice che quel numero è SEMPRE il MCD, ma se tu non dimostri prima che esiste sempre non puoi dimostrare che il più grande divisore comune è sempre uguale al MCD
"keineahnung":
... praticamente ti sta chiedendo di provare due cose: la prima è che il MCD esiste sempre ...
No, non è così ... nell'esercizio 4.28 si chiede solo di dimostrare che se un oggetto A possiede certe caratteristiche e un oggetto B possiede certe altre caratteristiche allora sono la stessa cosa. Punto.
Non si richiede di assumere a priori l'esistenza degli oggetti né la si dimostra (per quel che ne sappiamo fino a quel punto, l'insieme dei divisori comuni potrebbe non essere limitato superiormente).
Riprendendo l'esempio strampalato che avevo fatto precedentemente, è come se io dicessi: "Prendiamo un cavallo con un corno in fronte e un unicorno, dimostra che sono la stessa cosa"; il fatto che io riesca a dimostrarne l'uguaglianza non implica che questi animali esistano realmente né ho supposto a priori che esistano per dimostrarla (come invece avviene, per esempio, quando uso il "principio del buon ordinamento" dove utilizzo il fatto che un insieme di numeri naturali possiede minimo - " ... dato che l'insieme possiede minimo allora ... " - qui sì che utilizzo l'esistenza di un oggetto per dimostrare qualcosa ...)
IMHO ...
Cordialmente, Alex
Alex non siamo d'accordo allora. L'insieme di divisori comuni di due numeri è sempre finito e lo si deduce facilmente dalla definizione di divisore di un numero intero (anche nel libro si accenna a questo fatto in precedenza), tale insieme quindi possiede sempre massimo. Sappiamo dunque che il più grande dei divisori comuni esiste sempre, se adesso io voglio dimostrare che tale numero è anche uguale al MCD sto implicitamente dimostrando che anche il MCD esiste sempre, ma questo fatto è appunto da dimostrare. Non posso prenderlo come dato, perché nel momento in cui per assurdo io ti dovessi trovare due numeri che non hanno MCD (secondo la definizione di MCD), l'insieme dei loro divisori comuni avrebbe comunque massimo (dato che è finito) però avremmo l'assurdo che secondo il teorema tale numero è il MCD quando in realtà non soddisfa le due condizioni della definizione. Non so se riesco a spiegarmi.
Voglio dire se tu vuoi dimostrare che il più grande tra i divisori comuni è uguale al MCD devi dimostrare che tale numero soddisfa le due condizioni della definizione di MCD, non puoi dire come nella dimostrazione di bobus per esempio: supponiamo che il MCD esista... perché stai supponendo la tesi praticamente
Voglio dire se tu vuoi dimostrare che il più grande tra i divisori comuni è uguale al MCD devi dimostrare che tale numero soddisfa le due condizioni della definizione di MCD, non puoi dire come nella dimostrazione di bobus per esempio: supponiamo che il MCD esista... perché stai supponendo la tesi praticamente
"keineahnung":
Alex non siamo d'accordo allora. ...
Su questo siamo d'accordo ...
"keineahnung":
... L'insieme di divisori comuni di due numeri è sempre finito e lo si deduce facilmente dalla definizione di divisore di un numero intero (anche nel libro si accenna a questo fatto in precedenza), tale insieme quindi possiede sempre massimo. ...
Anche su questo siamo d'accordo (infatti non capisco perché la faccia tanto lunga poi nella dimostrazione di esistenza, bastava dire che l'insieme dei divisori comuni non è vuoto e ha cardinalità finita ... o meglio capisco che lo fa per dimostrare Bezout dopo ma a mio parere era meglio separare le due cose ...)
"keineahnung":
... Sappiamo dunque che il più grande dei divisori comuni esiste sempre, ...
Eh no, non lo sappiamo ... È qui che, secondo me, fai un errore di metodo ... tu lo sai perché sei intelligente, perché l'hai dedotto dalle conoscenze precedenti, ecc. ma non lo sa il libro perché quella dimostrazione (dell'esistenza dico ...) non è ancora stata fatta ... e difatti il libro, nell'esercizio 4.28, quella proprietà non la usa ...
... Cordialmente, Alex
Ma scusa se l'insieme dei divisori di un numero è finito, i divisori comuni sono L'intersezione tra due insiemi finiti, il massimo che può succedere è che sia vuoto non può certo essere infinito. Se è vuoto non hanno divisori comuni e quindi non si pone il problema, se non è vuoto e finito per forza quindi ha massimo. Questo nel libro è dato per scontato. Il fatto che un insieme finito abbia sempre massimo intendo.
Non capisco tu sei d'accordo sul fatto che l'insieme dei divisori comuni abbia sempre massimo e poi dici non si sa se esiste il più grande dei divisori comuni, ma scusa per definizione è proprio il massimo dell'insieme
Non capisco tu sei d'accordo sul fatto che l'insieme dei divisori comuni abbia sempre massimo e poi dici non si sa se esiste il più grande dei divisori comuni, ma scusa per definizione è proprio il massimo dell'insieme
Il punto non è questo, siamo tutti d'accordo che esista il massimo dei divisori comuni.
Il fatto è che questa informazione NON viene utilizzata nell'esercizio 4.28, tutto qui.
Casomai dall'esercizio si può dedurre che se esiste uno dei due oggetti allora esiste anche l'altro e viceversa se non esiste uno non esiste l'altro ...
Il fatto è che questa informazione NON viene utilizzata nell'esercizio 4.28, tutto qui.
Casomai dall'esercizio si può dedurre che se esiste uno dei due oggetti allora esiste anche l'altro e viceversa se non esiste uno non esiste l'altro ...
"axpgn":
Il punto non è questo, siamo tutti d'accordo che esista il massimo dei divisori comuni.
Il fatto è che questa informazione NON viene utilizzata nell'esercizio 4.28, tutto qui.
Casomai dall'esercizio si può dedurre che se esiste uno dei due oggetti allora esiste anche l'altro e viceversa se non esiste uno non esiste l'altro ...
Si, ma adesso lasciando perdere il MCD, come si può dimostrare che il maggior tra tutti i comun divisori è divisibile per qualunque altro divisore comune? Senza usare la scomposizione in fattori chiaramente, ma solo usando i concetti spiegati fino a quel momento nel libro.
L'esercizio però non chiede quello ovvero il Di Martino non ti chiede quello ... il suo modo di agire è quello di definire un oggetto che è multiplo di ogni divisore comune (e che sia esso stesso un divisore comune) senza però dimostrarne l'esistenza e poi dimostrarne l'uguaglianza con il maggiore tra i divisori comuni, anche qui senza dimostrare l'esistenza di questo massimo.
In questo modo ha definito, usando solo le conoscenze assunte fino ad allora (vedi dimostrazione di bobus), un oggetto che è un divisore comune, che è maggiore di tutti gli altri divisori comuni e che è multiplo di tutti gli altri divisori comuni.
A 'sto punto ne dimostra l'esistenza ed il cerchio si chiude ( )
Cordialmente, Alex
In questo modo ha definito, usando solo le conoscenze assunte fino ad allora (vedi dimostrazione di bobus), un oggetto che è un divisore comune, che è maggiore di tutti gli altri divisori comuni e che è multiplo di tutti gli altri divisori comuni.
A 'sto punto ne dimostra l'esistenza ed il cerchio si chiude (
)Cordialmente, Alex
"axpgn":
L'esercizio però non chiede quello ovvero il Di Martino non ti chiede quello ... il suo modo di agire è quello di definire un oggetto che è multiplo di ogni divisore comune (e che sia esso stesso un divisore comune) senza però dimostrarne l'esistenza e poi dimostrarne l'uguaglianza con il maggiore tra i divisori comuni, anche qui senza dimostrare l'esistenza di questo massimo.
In questo modo ha definito, usando solo le conoscenze assunte fino ad allora (vedi dimostrazione di bobus), un oggetto che è un divisore comune, che è maggiore di tutti gli altri divisori comuni e che è multiplo di tutti gli altri divisori comuni.
A 'sto punto ne dimostra l'esistenza ed il cerchio si chiude (
Cordialmente, Alex
Alex l'esistenza del massimo tra tutti i divisori comuni è data per assodata, ma a parte questo io non riesco a capire come fai a dimostrare l'equivalenza tra le due cose. Supponi di avere l'insieme di tutti i divisori comuni e di prendere il massimo, come mi dimostri chè è anche MCD? E' questo che non capisco
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