Comprensione della definizione di Algebra di Insiemi
Ciao a tutti! ho questo esercizio assegnato per "toccare con mano" la definizione di algebra di insiemi, ma non capisco bene cosa devo verificare:
"Sia $ mathcalA $ un’algebra di insiemi: verificare che il motivo del nome algebra sta nel fatto che $ mathcalA $ è effettivamente un’algebra commutativa, con elemento unitario rispetto alla moltiplicazione, rispetto alle operazioni di
differenza simmetrica $ ADelta B:= (Ann bar(B))uu (bar(A)nn B) $
ed
intersezione $ AnnB $
il suggerimento dice di considerare la corrispondenza biunivoca tra funzioni indicatrici e insiemi e vedere che:
$ mathbb1_{AnnB}=mathbb1_{A}mathbb1_{B} $ e $ mathbb1_{ADeltaB}=(mathbb1_{A}+mathbb1_{B})_{mod2} $ .
Ora queste verifiche sono piuttosto immediate ma devo far vedere anche la commutatività? qual è l'operazione moltiplicazione (e quindi esplicitare l'elemento unitario)? vedere che quest'ultima è associativa?
"Sia $ mathcalA $ un’algebra di insiemi: verificare che il motivo del nome algebra sta nel fatto che $ mathcalA $ è effettivamente un’algebra commutativa, con elemento unitario rispetto alla moltiplicazione, rispetto alle operazioni di
differenza simmetrica $ ADelta B:= (Ann bar(B))uu (bar(A)nn B) $
ed
intersezione $ AnnB $
il suggerimento dice di considerare la corrispondenza biunivoca tra funzioni indicatrici e insiemi e vedere che:
$ mathbb1_{AnnB}=mathbb1_{A}mathbb1_{B} $ e $ mathbb1_{ADeltaB}=(mathbb1_{A}+mathbb1_{B})_{mod2} $ .
Ora queste verifiche sono piuttosto immediate ma devo far vedere anche la commutatività? qual è l'operazione moltiplicazione (e quindi esplicitare l'elemento unitario)? vedere che quest'ultima è associativa?
Risposte
"Bombadil":
devo far vedere anche la commutatività?
Tecnicamente sì, ma è immediata.
"Bombadil":
qual è l'operazione moltiplicazione (e quindi esplicitare l'elemento unitario)?
Parte dell'esercizio sta proprio nel capire quale delle due operazioni sia la somma e quale delle due il prodotto; e, naturalmente trovare i rispettivi elementi neutri.
"Bombadil":
vedere che quest'ultima è associativa?
Sì. Dovresti anche far vedere la distributività del prodotto rispetto alla somma.
Se ti servono dei suggerimenti chiedi pure.
Il termine algebra resta comunque fuorviante, in questo caso si dovrebbe parlare di anello commutativo.
Il termine algebra resta comunque fuorviante, in questo caso si dovrebbe parlare di anello commutativo.
non e' affatto fuorviante
questo anello (cosi' come ogni \(P(A)\) con le identiche operazioni di differenza simmetrica e intersezione) e' un anello booleano, quindi un'algebra su \(\mathbb{Z}/2\).
"killing_buddha":
non e' affatto fuorviante
Giusto. Rettifico: il termine algebra resta comunque ambiguo, quando si parla di algebre sarebbe opportuno specificare sotto quale anello si trovano
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